**清华大学2015年自主招生暨领军计划试题(上)**
说明：本试卷共30小题，共100分．在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的．全部选对的，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分．
本次分享涵盖试卷的前15道题！下次分享后15道题，敬请期待！
1、设复数$z=cosdfrac{2pi}3+{ m i}sindfrac{2pi}3$，则$dfrac{1}{1-z}+dfrac{1}{1-z^2}=$（ ）
A．$0$
B．$1$
C．$dfrac 12$
D．$dfrac 32$
2、设${a_n}$为等差数列，$p,q,k,l$为正整数，则“$p+q>k+l$”是“$a_p+a_q>a_k+a_l$”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3、设$A,B$是抛物线$y=x^2$上的两点，$O$是坐标原点．若$OAperp OB$，则（ ）
A．$|OA|cdot |OB|geqslant 2$
B．$|OA|+|OB|geqslant 2sqrt 2$
C．直线$AB$过抛物线$y=x^2$的焦点
D．$O$到直线$AB$的距离小于等于$1$
4、设函数$f(x)$的定义域为$(-1,1)$，且满足：
① $f(x)>0$，$xin(-1,0)$；
② $f(x)+f(y)=fleft(dfrac{x+y}{1+xy} ight)$，$x,yin(-1,1)$，
则$f(x)$为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．减函数
D．有界函数
5、如图，已知直线$y=kx+m$与曲线$y=f(x)$相切于两点，则$F(x)=f(x)-kx$有（ ）
A．$2$个极大值点
B．$3$个极大值点
C．$2$个极小值点
D．$3$个极小值点
6、$ riangle ABC$的三边分别为$a,b,c$．若$c=2$，$angle C=dfrac{pi}3$，且$$sin C+sin (B-A)-2sin 2A=0,$$则（ ）
A．$b=2a$
B．$ riangle ABC$的周长为$2+2sqrt 3$
C．$ riangle ABC$的面积为$dfrac{2sqrt 3}3$
D．$ riangle ABC$的外接圆半径为$dfrac{2sqrt 3}3$
7、设函数$f(x)=left(x^2-3 ight){ m e}^x$，则（ ）
A．$f(x)$有极小值，但无最小值
B．$f(x)$有极大值，但无最大值
C．若方程$f(x)=b$恰有一个实根，则$ b>dfrac{6}{{ m e}^3}$
D．若方程$f(x)=b$恰有三个不同实根，则$ 0<b<dfrac{6}{{ m e}^3}$
8、已知$A=left{(x,y)left|x^2+y^2=r^2 ight. ight}$，$B=left{(x,y)left|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 ight. ight}$，已知$Acap B=left{(x_1,y_1),(x_2,y_2) ight}$，则（ ）
A．$ 0<a^2+b^2<2r^2$
B．$a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0$
C．$x_1+x_2=a$，$y_1+y_2=b$
D．$a^2+b^2=2ax_1+2by_1$
9、已知非负实数$x,y,z$满足$4x^2+4y^2+z^2+2z=3$，则$5x+4y+3z$的最小值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
10、设数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，若对任意正整数$n$，总存在正整数$m$，使得$S_n=a_m$，则（ ）
A．${a_n}$可能为等差数列
B．${a_n}$可能为等比数列
C．${a_n}$的任意一项均可写成${a_n}$的两项之差
D．对任意正整数$n$，总存在正整数$m$，使得$a_n=S_m$
11、运动会上，有$6$名选手参加$100$米比赛，观众甲猜测：$4$道或$5$道的选手得第一名；观众乙猜测：$3$道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：$1,2,6$道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：$4,5,6$道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有$1$人猜对比赛结果，此人是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
12、长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=2$，$AD=AA_1=1$，则$A$到平面$A_1BD$的距离为（ ）
A．$dfrac 13$
B．$dfrac 23$
C．$dfrac{sqrt 2}2$
D．$dfrac{sqrt 6}3$
13、设不等式组$$|x|+|y|leqslant 2,$$
$$y+2leqslant k(x+1),$$
所表示的区域为$D$，其面积为$S$，则（ ）
A．若$S=4$，则$k$的值唯一
B．若$S=dfrac 12$，则$k$的值有$2$个
C．若$D$为三角形，则$ 0<kleqslant dfrac 23$
D．若$D$为五边形，则$k>4$
14、$ riangle ABC$的三边长是$2,3,4$，其外心为$O$，则$overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{AB}+overrightarrow{OB}cdotoverrightarrow{BC}+overrightarrow{OC}cdotoverrightarrow{CA}=$（ ）
A．$0$
B．$-15$
C．$-dfrac{21}2$
D．$-dfrac{29}2$
15、设随机事件$A$与$B$互相独立，且$P(B)=0.5$，$P(A-B)=0.2$，则（ ）
A．$P(A)=0.4$
B．$P(B-A)=0.3$
C．$P(AB)=0.2$
D．$P(A+B)=0.9$
【命题分析】第一题考察的主要知识点是复数单位根的相关计算；第二题考察的主要是等差数列性质与充要条件综合；第三题考察的内容是一次函数与抛物线综合；第四题考察的内容是抽象函数的奇偶性、单调性和有界性等性质；第五题考察的内容是数形结合，复合函数的极值问题；第六题考察的内容是三角函数与解三角形；第七题考察的内容是函数的极值和最值问题；第八题考察的内容是解析几何圆的方程相关内容；第九题考察的内容是利用数形结合解决有限制条件的函数最值问题；第十题主要考察的是数列的性质；第十一题考察的内容是逻辑推理问题；第十二题考察的内容是立体几何中的点到面的距离；第十三题考察的内容是二元一次不等式组表示平面区域问题；第十四题考察的内容是五心问题与向量问题综合；第十五题考察的知识点是随机事件与概率问题。
【小结】综合前十五道题，可以看出函数、三角函数、解析几何、向量、复数、数列、立体几何等主要知识点都有考察到。同时，也能看出题目注重考察多个知识点的综合。
**清华大学2015年自主招生暨领军计划试题(下)**
说明：本试卷共30小题，共100分．在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的．全部选对的，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分．
本次分享涵盖试卷的后15道题！上部分可以查阅
16、过$ riangle ABC$的重心作直线将$ riangle ABC$分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ）
A．最小值为$dfrac 34$
B．最小值为$dfrac 45$
C．最大值为$dfrac 43$
D．最大值为$dfrac 54$
17、从正$15$边形的顶点中选出$3$个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）
A．$105$种
B．$225$种
C．$315$种
D．$420$种
18、已知存在实数$r$，使得圆周$x^2+y^2=r^2$上恰好有$n$个整点，则$n$可以等于（ ）
A．$4$
B．$6$
C．$8$
D．$12$
19、设复数$z$满足$2|z|leqslant |z-1|$，则（ ）
A．$|z|$的最大值为$1$
B．$|z|$的最小值为$dfrac 13$
C．$z$的虚部的最大值为$dfrac 23$
D．$z$的实部的最大值为$dfrac 13$
20、设$m,n$是大于零的实数，向量${f a}=(mcosalpha,msinalpha)$，${f b}=(ncoseta,nsineta)$，其中$alpha,etain [0,2pi)$．定义向量${f a}^{frac 12}=left(sqrt mcosdfrac{alpha}2,sqrt msindfrac{alpha}2 ight)$，${f b}^{frac 12}=left(sqrt ncosdfrac{eta}2,sqrt nsindfrac{eta}2 ight)$，记$ heta=alpha-eta$，则（ ）
A．${f a}^{frac 12}cdot{f a}^{frac 12}={f a}$
B．${f a}^{frac 12}cdot {f b}^{frac 12}=sqrt{mn}cosdfrac{ heta}2$
C．$left|{f a}^{frac 12}-{f b}^{frac 12} ight|^2geqslant 4sqrt{mn}sin^2dfrac{ heta}4$
D．$left|{f a}^{frac 12}+{f b}^{frac 12} ight|^2geqslant 4sqrt{mn}cos^2dfrac{ heta}4$
21、设数列${a_n}$满足：$a_1=6$，$a_{n+1}=dfrac{n+3}na_n$，则（ ）
A．$forall ninmathcal N^*,a_n<(n+1)^3$
B．$forall ninmathcal N^*,a_n eq 2015$
C．$exists ninmathcal N^*,a_n$为完全平方数
D．$exists ninmathcal N^*,a_n$为完全立方数
22、在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ）
A．$ ho=dfrac{1}{cos heta+sin heta}$
B．$ ho=dfrac{1}{2+sin heta}$
C．$ ho=dfrac{1}{2-cos heta}$
D．$ ho=dfrac{1}{1+2sin heta}$
23、设函数$f(x)=dfrac{sinpi x}{x^2-x+1}$，则（ ）
A．$f(x)leqslant dfrac 43$
B．$left|f(x) ight|leqslant 5|x|$
C．曲线$y=f(x)$存在对称轴
D．曲线$y=f(x)$存在对称中心
24、$ riangle ABC$的三边分别为$a,b,c$，若$ riangle ABC$为锐角三角形，则（ ）
A．$sin A>cos B$
B．$ an A>cot B$
C．$a^2+b^2>c^2$
D．$a^3+b^3>c^3$
25、设函数$f(x)$的定义域是$(-1,1)$，若$f(0)=f'(0)=1$，则存在实数$deltain (0,1)$，使得（ ）
A．$f(x)>0$，$xin(-delta,delta)$
B．$f(x)$在$(-delta,delta)$上单调递增
C．$f(x)>1$，$xin(0,delta)$
D．$f(x)>1$，$xin(-delta,0)$
26、在直角坐标系中，已知$A(-1,0)$，$B(1,0)$．若对于$y$轴上的任意$n$个不同点$P_1,P_2,cdots ,P_n$，总存在两个不同点$P_i,P_j$，使得$left|sinangle AP_iB-sin angle AP_jB ight|leqslant dfrac 13$，则$n$的最小值为（ ）
A．$3$
B．$4$
C．$5$
D．$6$
27、设非负实数$x,y$满足$2x+y=1$，则$x+sqrt{x^2+y^2}$的（ ）
A．最小值为$dfrac 45$
B．最小值为$dfrac 25$
C．最大值为$1$
D．最大值为$dfrac{1+sqrt 2}3$
28、对于$50$个黑球和$49$个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）
A．存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多
B．存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
C．存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个
D．存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
29、从$1,2,3,4,5$中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如$12231$，则能得到的不同的五位数有（ ）
A．$300$个
B．$450$个
C．$900$个
D．$1800$个
30、设曲线$L$的方程为$$y^4+left(2x^2+2 ight)y^2+left(x^4-2x^2 ight)=0,$$则（ ）
A．$L$是轴对称图形
B．$L$是中心对称图形
C．$Lsubsetleft{(x,y)left|x^2+y^2leqslant 1 ight. ight}$
D．$Lsubsetleft{(x,y)left|-dfrac 12leqslant yleqslant dfrac 12 ight. ight}$
**【命题分析】** 第十六题考察的主要知识点是平面几何三角形重心的性质；第十七题考察的主要知识点是几何图形的计数问题；第十八题考察的内容是组合里的简单整点问题；第十九题考察的内容是复平面与解析几何的综合；第二十题考察的内容是向量的点乘和向量的模；第二十一题考察的内容是递推数列的性质；第二十二题考察的内容是椭圆的极坐标表示；第二十三题考察的内容是函数图像的性质与函数的值域问题；第二十四题考察的内容是三角函数与解三角形；第二十五题主要考察的是函数导数相关的性质，第二十六题考察的内容是直角坐标系与三角函数的综合，第二十七题考察的内容是函数的最值问题；第二十八题考察的内容是组合中的存在论证；第二十九题考察的内容是分类分步与排列组合的综合计数问题；第三十题考察的知识点函数图像的性质。
**【小结】** 综合2015年清华大学真题后十五道题，可以看出函数、三角函数、解析几何、向量、复数、数列、组合杂题等知识点仍然是考察的重点。同时，也能看出题目注重考察多个知识点的综合。
**2019年北京大学自主招生试题**
1.若$a,binmathbb{R}^+$,求满足不等式$sqrt{x^2-sqrt{2}ax+a^2}+sqrt{x^2-sqrt{2}bx+b^2}leq sqrt{a^2+b^2}$的$x$取值范围.
2.复数$z_1,z_2$满足$|z_1-3i|=2,|z_2-8|=1$,则由复数$z_1-z_2$围成的面积是 ( )
A. $4pi$ B. $8pi$ C. $10pi$ D. 以上全错
3.从$1,2,3,4,5,6,7,8,9$取出$4$个不同的数,分别记为$a,b,c,d$,求$a+b$和$c+d$奇偶性相同的概率.
4.正方形$ABCD$中, $K$为$ riangle BCD$内一点,满足$angle KDB=angle KBC=10^circ$,则$angle KAD=$ ( )
A. $45^circ$ B. $60^circ$ C. $70^circ$ D. 以上全错
5.设$x,yin mathbb{Z}$,若$(x^2+x+1)^2+(y^2+y+1)^2$为完全平方数,则数对$(x,y)$有( )组
A. $0$ B. $1$ C. 无穷多 D. 以上全错
6.方程$sin x=frac{x}{13}$的根的个数为 ( )
A. $3$个 quad B. $7$个 quad C. $1$个 quad D. 以上全错
7.设$P$为椭圆$frac{x^2}{25}+frac{y^2}{16}=1$上一点, $F_1,F_2$为椭圆的左、右焦点, $I$为$ riangle PF_1F_2$的内心,若内切圆半径为$1$,求$IP$的长度.
8.已知数列${a_n}$满足: $a_1=0,a_{k+1}+a_k=4k+3\,(k=1,2,cdots)$,求$a_{2020}-a_2$.
9.已知数列${a_n}$满足: $a_1=1,a_{n+1}=a_n+frac{1}{sqrt[2n]{a_n}}\, (n=1,2,cdots)$,则数列${a_n}$hfill (quad)
A. 单调递增且有界 quad B.单调递减且无界 quad C. 没有单调性 quad D. 以上全错