(分析中的反例)两个周期函数,它们的和不是周期函数.
证. $sin x$和$sin alpha x$在$(-infty,+infty)$上均是周期函数,其中$alpha$为无理数.但$sin x+sin alpha x$不是周期函数.
假设$sin x+sin alpha x$是具有非零周期$T$的周期函数,则
$$
sin left( x+T
ight) +sin alpha left( x+T
ight) =sin x+sin alpha x,
$$
故
$$
2cos left( x+frac{T}{2}
ight) sin frac{T}{2}=-2cos left( alpha x+frac{alpha T}{2}
ight) sin frac{alpha T}{2}.
$$
取$x=frac{pi}{2}$,则$sin frac{alpha T}{2}=0$,则$alpha T=2ppi$;取$alpha x=frac{pi} {2}$,则$sin frac{T}{2}=0$,则$T=2qpi$,其中$p,q$都是非零整数.故$alpha T=2ppi=alphacdot 2qpi$,即$alpha=frac{p}{q}$,这与$alpha$是无理数矛盾.
egin{verse}
如果你想学会游泳，你必须下水；
如果想成为解题能手，你必须解题。——波利亚
end{verse}
section{数系表}
$$
ext{复数}left{ egin{array}{l}
ext{实数}left{ egin{array}{l}
ext{有理数}left{ egin{array}{l}
ext{正有理数}left{ egin{array}{l}
ext{正整数}\
ext{正分数}\
end{array}
ight.\
ext{零}\
ext{负有理数}left{ egin{array}{l}
ext{负整数}\
ext{负分数}\
end{array}
ight.\
end{array}
ight.\
ext{无理数}left{ egin{array}{l}
ext{正无理数}\
ext{负无理数}\
end{array}
ight.\
end{array}
ight.\
ext{虚数}\
end{array}
ight.
$$
section{实数}
(1)有理数、无理数、实数
整数与分数统称有理数.有理数集是整数集的扩张.任何一个有理数都可以表示为$p/q$的形式,其中$p$、$q$为互质整数,且$q eq 0$.包括整数、有限小数和无限循环小数,例如$0,1,-1,frac{1}{2},0.314,0.dot{3}$.
无限不循环小数称为无理数.常见的无理数有$sqrt{2},pi$等.
“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”.事实上,这似乎是一个翻译上的失误.有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number.而rational通常的意义是“理性的”.中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思.所以rational number其实就是整数的“比”.与之相对, “无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理.
有理数和无理数统称实数.
(2)实数的绝对值
$$|a|=egin{cases}
a, & a>0, \
0, & a=0, \
-a, & a<0.
end{cases}$$
绝对值的几何意义: $|x|$表示数轴上的点$x$到原点$0$的距离,而$|x-a|$表示数轴上的点$x$到点$a$的距离.
(3)数的运算律
加法满足交换律($a+b=b+a$)、结合律($(a+b)+c=a+(b+c)$);
乘法满足交换律($ab=ba$)、结合律($(ab)c=a(bc)$).
乘法满足对于加法的分配律($a(b+c)=ab+ac$).
(4)数集的记号
复数($mathbb{C}$)、实数($mathbb{R}$)、有理数($mathbb{Q}$)、自然数($mathbb{N}$,包含0和正整数)、正整数($mathbb{N_+}$或$mathbb{N^ast}$).
section{复数}
为了求解形如$x^2=-1$的没有实数解的一元二次方程,可引入复数.
(1)虚数单位
数$i$满足$i^2=-1$, $i$称为虚数单位,规定$i$可与实数在一起按实数的运算律进行四则运算.
$i$的整数幂具有如下周期性质:
$i^{4n}=1,i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i\,(nin mathbb{Z})$.
(2)复数
形如$a+bi\,(a,bin mathbb{R})$的数叫复数, $a$、$b$分别称为复数的实部和虚部,通常以$mathbb{C}$表示复数集,以$z$表示复数.
两个复数当且仅当它们的实部和虚部相等时相等.
(3)复数的表示法
(a)复数的代数式: $z=a+bi$.
(b)复数的几何表示:复数$z=a+bi$与复平面上以坐标原点$O$为起点、以点$z(a,b)$为终点的向量$overrightarrow{Oz}$一一对应.向量$overrightarrow{Oz}$的长度$r$称为复数$a+bi$的模(或绝对值),记作$|a+bi|$或$left|overrightarrow{Oz} ight|$. $x$轴正方向到$overrightarrow{Oz}$的角$ heta$称为复数$a+bi$的辐角,满足$-pi< hetaleq pi$的辐角$ heta$的值称为辐角的主值.
(c)复数的三角式: $a+bi=r(cos heta+isin heta)$,其中
(2014年华中科技大学理科实验班选拔试题)
1、若(a)为正整数而(sqrt a)不为整数，证明：(sqrt a)为无理数.
2、试证：除(0,0,0)外，没有其他整数(m,n,p)使得[m+nsqrt2+psqrt3=0.]
四、（本题共12分） 证明：设(m)是任一正整数，则(a_m=dfrac12+dfrac13+dfrac14+dfrac15+cdots+dfrac1{2^m})不是整数．
若$a,b$都是有理数,且$a<b$,则必存在一个无理数$alpha$,使$a<alpha<b$.
因为$a<b,sqrt{2}a<sqrt{2}b$,
[
left( sqrt{2}-1
ight) a<left( sqrt{2}-1
ight) b,quad sqrt{2}a<left( sqrt{2}-1
ight) b+a. ag{1}
]
又$a<b$,所以$a<sqrt{2}b-sqrt{2}b+b$,
即
[
a<sqrt{2}b-left( sqrt{2}-1
ight) b,quad left( sqrt{2}-1
ight) b+a<sqrt{2}b. ag{2}
]
由(1)和(2)可得$sqrt{2}a<left( sqrt{2}-1
ight) b+a<sqrt{2}b$,则
$$a<frac{left( sqrt{2}-1
ight) b+a}{sqrt{2}}<b,$$
即$a,b$之间必存在一个无理数
$$alpha=frac{left( sqrt{2}-1
ight) b+a}{sqrt{2}}=frac{2b+sqrt{2}(a-b)}{2}.$$
由于$a,b$的任意性,本题结论实际上表明:任意两有理数之间必存 在无数个无理数.