北京大学2020年强基计划招生考试数学试题
选择题共20小题;在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得5分,选错或不选得0分.
1.正实数$x,y,z,w$满足$xgeq ygeq w$和$x+yleq 2(z+w)$,则$frac{w}{x}+frac{z}{y}$的最小值等于
egin{tasks}(4)
ask $frac{3}{4}$
ask $frac{7}{8}$
ask $1$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
2.在$(2019 imes 2020)^{2021}$的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为
egin{tasks}(4)
ask $16$
ask $31$
ask $32$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
3.整数列${a_n}_{ngeq 1}$满足$a_1=1,a_2=4$,且对任意$ngeq 2$有$a_n^2-a_{n+1}a_{n-1}=2^{n-1}$,则$a_{2020}$的个位数字是
egin{tasks}(4)
ask $8$
ask $4$
ask $2$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
4.设$a,b,c,d$是方程$x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$的$4$个复根,则$frac{a-1}{a+2}+frac{b-1}{b+2}+frac{c-1}{c+2}+frac{d-1}{d+2}$的值为
egin{tasks}(4)
ask $-frac{4}{3}$
ask $-frac{2}{3}$
ask $frac{2}{3}$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
5.设等边三角形$ABC$的边长为$1$,过点$C$作以$AB$为直径的圆的切线交$AB$的延长线与点$D$, $AD> BD$,则三角形$BCD$的面积为
egin{tasks}(4)
ask $frac{6sqrt{2}-3sqrt{3}}{16}$
ask $frac{4sqrt{2}-3sqrt{3}}{16}$
ask $frac{3sqrt{2}-2sqrt{3}}{16}$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
6.设$x,y,z$均不为$left(k+frac{1}{2}
ight)pi$,其中$k$为整数,已知$sin(y+z-x),sin (x+z-y),sin (x+
y-z)$成等差数列,则依然成等差数列的是
egin{tasks}(4)
ask $sin x,sin y,sin z$
ask $cos x,cos y,cos z$
ask $ an x, an y, an z$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
7.方程$19x+93y=4xy$的整数解个数为
egin{tasks}(4)
ask $4$
ask $8$
ask $16$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
8.从圆$x^2+y^2=4$上的点向椭圆$C:frac{x^2}{2}+y^2= 1$引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆$C$内不与任何切点弦相交的区域面积为
egin{tasks}(4)
ask $frac{pi}{2}$
ask $frac{pi}{3}$
ask $frac{pi}{4}$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
9.使得$5x+12sqrt{xy}leq a(x+y)$对所有正实数$x,y$都成立的实数$a$的最小值为
egin{tasks}(4)
ask $8$
ask $9$
ask $10$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
10.设$P$为单位立方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$上的一点,则$PA_1 + PC_1$的最小值为
egin{tasks}(4)
ask $sqrt{2+sqrt{2}}$
ask $sqrt{2+2sqrt{2}}$
ask $2-frac{sqrt{2}}{2}$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
11.数列${a_n}_{ngeq 1}$满足$a_1= 1,a_2=9$,且对任意$ngeq 1$有$a_{n+2}= 4a_{n+1}-3a_n-20$,其前$n$项和为$S_n$,则函数$S_n$的最大值等于
egin{tasks}(4)
ask $28$
ask $35$
ask $47$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
12.设直线$y=3x+m$与椭圆$frac{x^2}{25}+frac{y^2}{16}=1$交于$A,B$两点, $O$为坐标原点,则三角形$OAB$面积的最大值为
egin{tasks}(4)
ask $8$
ask $10$
ask $12$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
13.正整数$ngeq 3$称为理想的,若存在正整数$1leq kleq n-1$使得$C_n^{k-1},C_n^k,C_n^{k+1}$构成等差数列,其中$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$为组合数,则不超过$2020$的理想数个数为
egin{tasks}(4)
ask $40$
ask $41$
ask $42$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
14.在$ riangle ABC$中, $angle A= 150^circ$, $D_1,D_2,cdots,D_{2020}$依次为边$BC$上的点,且$BD_1=
D_1D_2= D_2D_3=cdots = D_{2019}D_{2020}= D_{2020}C$,设$angle BAD_1=alpha_1,angle D_1AD_2 =alpha_2,cdots,angle D_{2019}AD_{2020}= alpha_{2020},angle D_{2020}AC =alpha_{2021}$,则$frac{sinalpha_1sinalpha_3cdots sinalpha_{2021}}{sinalpha_2sinalpha_4cdots sinalpha_{2020}}$的值为
egin{tasks}(4)
ask $frac{1}{1010}$
ask $frac{1}{2020}$
ask $frac{1}{2021}$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
15.函数$sqrt{3+ 2sqrt{3}cos heta+cos^2 heta} +sqrt{5-2sqrt{3}cos heta + cos^2 heta+ 4sin^2 heta}$的最大值为
egin{tasks}(4)
ask $sqrt{2}+sqrt{3}$
ask $2sqrt{2}+sqrt{3}$
ask $sqrt{2}+2sqrt{3}$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
16.方程$sqrt{x+5-4sqrt{x+1}}+sqrt{x+2-2sqrt{x+1}}= 1$的实根个数为
egin{tasks}(4)
ask $1$
ask $2$
ask $3$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
17.凸五边形$ABCDE$的对角线$CE$分别与对角线$BD$和$AD$交于点$F$和$G$,已知$BF:FD=5:4,AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2:3$, $S_{ riangle CFD}$和$S_{ riangle ABE}$分别为$ riangle CFD$和$ riangle ABE$的面积,则$S_{ riangle CFD}:S_{ riangle ABE}$的值等于
egin{tasks}(4)
ask $8:15$
ask $2:3$
ask $11:23$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
18.设$p,q$均为不超过$100$的正整数,则有有理根的多项式$f(x)=x^5+px+q$的个数为
egin{tasks}(4)
ask $99$
ask $133$
ask $150$
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
19.满足对任意$ngeq 1$有$a_{n+1}=2^n-3a_n$且严格递增的数列${a_n}_{ngeq 1}$的个数为
egin{tasks}(4)
ask $0$
ask $1$
ask 无穷多个
ask 前三个答案都不对
end{tasks}
20.设函数$f(x,y,z)=frac{x}{x+y}+frac{y}{y+z}+frac{z}{z+x}$,其中$x,y,z$均为正实数,则有
egin{tasks}(2)
ask $f$既有最大值也有最小值
ask $f$有最大值但无最小值
ask $f$有最小值但无最大值
ask 前三个答案都不对
end{tasks}