人大附早培：函数方程

前几天给人大附早培高一的学生讲了一道函数方程的问题，现在分享一下给大家参考！

>求所有的映射$f:mathbb{R}_+ imes mathbb{R}_+ imes mathbb{R}_+ o mathbb{R}_+$,使得对任意正实数$x,y,z,k$,均有

(1) $xf(x,y,z)=zf(z,y,x)$;

(2) $f(x,ky,k^2z)=kf(x,y,z)$;

(3) $f(1,k,k+1)=k+1$.

**解.** 由(2)可知$f(1,m k,m^2(k+1))=mf(1,k,k+1)=m(k+1)$.

令$b=mk,c=m^2(k+1)$, 解得$m=frac{sqrt{b^2+4c}-b}{2}$,则$f(1,b,c)=f(1,m k,m^2(k+1))=m(k+1)=frac{c}{m}=frac{b+sqrt{b^2+4c}}{2}$.

因此$$

在(2)中令$x=a,k=sqrt{c},z=1$,则$f(a,b,c)=sqrt{c}fleft(a,frac{b}{sqrt{c}},1 ight)$.

由(1)可知$afleft(a,frac{b}{sqrt{c}},1 ight)=fleft(1,frac{b}{sqrt{c}},a ight)$.

于是
egin{align*}
f(a,b,c)&=sqrt{c}fleft(a,frac{b}{sqrt{c}},1 ight)=frac{sqrt{c}}{a}fleft(1,frac{b}{sqrt{c}},a ight)\
&=frac{sqrt{c}}{a}frac{frac{b}{sqrt{c}}+sqrt{left(frac{b}{sqrt{c}} ight)^2+4a}}{2}=frac{b+sqrt{b^2+4ac}}{2a}.
end{align*}

即一元二次方程$ax^2-bx-c=0$的正根.