正十二面体有$12$个面,每个面为正五边形,每个顶点连接$3$条棱.求它的内切球与外接球半径比.
解.不妨设正十二面体的棱长均为$a$.
先求正五边形的高.如图所示,这里的字母记号和下图有冲突,请注意区别.利用这么个事实,从正五边形某个顶点向两个对点连线,这两条线将会三等分内角$displaystyle frac{(5-2) imes 180^circ}5=108^circ$,则三等分后的角$angle CAD=36^circ$,则$angle CAF=18^circ$,因此正五边形的高为
$$
h=frac{a/2}{ an 18^{circ}}=frac{a/2}{ an left( pi /10
ight)}=frac{1}{2}sqrt{5+2sqrt{5}}a.
$$
接着求正十二面体的二面角,记某顶点处的三条等长的棱形成的向量分别为$vec{a},vec{b},vec{c}$,其中的任意两个向量夹角为$108^circ$.
事实上,利用Lagrange恒等式$$left(overrightarrow{a} imesoverrightarrow{b}
ight)cdotleft(overrightarrow{c} imesoverrightarrow{d}
ight)=left|egin{matrix}overrightarrow{a}cdotoverrightarrow{c}& overrightarrow{a}cdotoverrightarrow{d}\overrightarrow{b}cdotoverrightarrow{c}& overrightarrow{b}cdotoverrightarrow{d}\end{matrix}
ight|,$$我们有
egin{align*}
frac{left( overrightarrow{a} imes overrightarrow{b}
ight) cdot left( overrightarrow{b} imes overrightarrow{c}
ight)}{left| overrightarrow{a} imes overrightarrow{b}
ight|left| overrightarrow{b} imes overrightarrow{c}
ight|}&=frac{1}{left| overrightarrow{a} imes overrightarrow{b}
ight|left| overrightarrow{b} imes overrightarrow{c}
ight|}left| egin{matrix}
overrightarrow{a}cdot overrightarrow{b}& overrightarrow{a}cdot overrightarrow{c}\
overrightarrow{b}cdot overrightarrow{b}& overrightarrow{b}cdot overrightarrow{c}\
end{matrix}
ight|\
&=frac{1}{a^4sin 108^{circ}}left| egin{matrix}
a^2cos 108^{circ}& a^2cos 108^{circ}\
a^2& a^2cos 108^{circ}\
end{matrix}
ight|\
&=frac{cos ^2108^{circ}-cos 108^{circ}}{sin 108^{circ}}=frac{1}{sqrt{5}},
end{align*}
这里利用了
$$
cos 108^{circ}=frac{1-sqrt{5}}{4},qquad sin 108^{circ}=sqrt{frac{5+sqrt{5}}{8}}.
$$
由正十二面体实物图可以看出二面角显然为钝角,因此所求二面角$ heta$的余弦值为$displaystyle frac{1}{sqrt{5}}$.
这题关键是找到适合计算的截面图,因为建坐标系比较复杂,利用坐标系不太现实.不过在英文Wiki上有这些坐标参数,利用这些数据此问题瞬间得到解答.如图便是我们找到的可行截面图,也就是$AC=h=frac{1}{2}sqrt{5+2sqrt{5}}a$,且$angle ACO=gamma= heta/2$.我们有
$$
cos heta =-frac{1}{sqrt{5}}=1-2sin ^2gamma Rightarrow sin gamma =sqrt{frac{5+sqrt{5}}{10}},cos gamma =sqrt{frac{5-sqrt{5}}{10}}.
$$
因此梯形的下底为
egin{align*}
CF&=2CH+a=2hcos gamma +a\
&=2 imes frac{1}{2}sqrt{5+2sqrt{5}}a imes sqrt{frac{5-sqrt{5}}{10}}+a=frac{3+sqrt{5}}{2}a.
end{align*}
由此得
$$
r=OI=frac{CF}{2}sin gamma =frac{3+sqrt{5}}{4}a imes sqrt{frac{5+sqrt{5}}{10}}=frac{1}{2}sqrt{frac{25+11sqrt{5}}{10}}a,
$$
而由余弦定理可知
egin{align*}
R^2&=OA^2=h^2+left( frac{CF}{2}
ight) ^2-2hcdot frac{CF}{2}cdot cos gamma\
&=left( frac{1}{2}sqrt{5+2sqrt{5}}a
ight) ^2+left( frac{3+sqrt{5}}{4}a
ight) ^2-sqrt{5+2sqrt{5}} imes frac{3+sqrt{5}}{4}a imes sqrt{frac{5-sqrt{5}}{10}}\
&=frac{9+3sqrt{5}}{8}a^2,
end{align*}
即$$
R=frac{sqrt{3}+sqrt{15}}{4}a,
$$
从而所求内切球与外接球半径比等于
$$
frac{r}{R}=frac{frac{1}{2}sqrt{frac{25+11sqrt{5}}{10}}a}{frac{sqrt{3}+sqrt{15}}{4}a}=sqrt{frac{5+2sqrt{5}}{15}}.
$$
注:其实一开始我把$-frac1{sqrt{5}}$的负号丢了,折腾了半天.此外,我们还可以计算出正十二面体的表面积$S$和体积$V$分别为
$$
S=3sqrt{25+10sqrt{5}}a^2,qquad V=frac{15+7sqrt{5}}{4}a^3.
$$