【题解】 2019正睿普及五连测（二）T4——树

题目描述

Description

给定一棵 n 个点的树和树上的 m 条链，请问有多少对链有至少一个公共点。

Input

第一行两个正整数 n,m。 第 2~n 行，每行两个整数 s,t，表示有一条边连接 s 点和 t 点。

接下来 m 行，每行两个整数 a,b，表示有一条链的起点、终点分别为 a,b。（链的起点、 终点可能相同）

Output

一行一个整数，表示答案。

Sample Input

5 3

1 2

1 3

2 4

2 5

4 5

1 4

3 5

Sample Output

3

Hint

对于 30%的数据，$n,m leq 100$

对于 50%的数据，$n,m leq 2000$

对于另 20%的数据，读入的 $s,t$ 满足 $t=s+1$

对于 100%的数据，$1 leq n,m leq 100000$

时间限制：$1s$ 空间限制：$512MB$

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题目分析

这一题的关键在于判断两条链是否重合的方法。首先，要分析一下两条链相交的情况。如图所示：

（图A：链 $S1-T1$ 与 $S2-T2$ 有一个交点O）

（图B：链 $S1-T1$ 与 $S2-T2$ 有两个或更多交点）

 

由上图可以得出，两条链相交，当且仅当一条链两端点的LCA在另一条链上。

现在我们需要分类讨论。对于第一种情况，我们只需要计算有多少条链的LCA在某个点上，设$tot_i$为LCA在x点上的链的个数。那么，如果$tot_i>1$，那就说明有多条链经过这一点，也就是说，有$n imes (n - 1) div 2$对链相交。这个过程用代码写出来就是：

 

for(int i=1;i<=n;i++) ans+=tot[i]*(tot[i]-1)/2;

对于第二种情况，就复杂一些。我们要考虑一条链上有多少个其它链的LCA。我们需要一个前缀和数组$sum$，其递推公式为$sum_v = sum_u + tot_v (v为u的子节点)$，最后要计算每一条链上的和，只需要算出$sum_u + sum_v - 2 imes sum_lca(u,v) (u，v为链的端点)$。这个过程用代码写出来就是：

void solve(int u,int fa)
{
    sum[u]=sum[fa]+tot[u]; //递推
    for(auto &v: g[u]) //遍历子节点
        if(v!=fa)
            solve(v,u);
}

for(int i=1;i<=m;i++)    ans+=sum[c[i].u]+sum[c[i].v]-2*sum[c[i].lca];

最后，就只需要输出ans的值了。

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完整代码

不贴代码的题解不是好题解。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m,ans,dep[100005],f[100005][20],sum[100005],tot[100005];
vector<int> g[100005]; //用vector存图，搭配C++11食用效果更佳 
struct Chain
{
    int u,v; //链的起点和终点 
    int lca; //链的端点的LCA 
}c[100005];
void dfs(int u,int fa) //LCA预处理 
{
    dep[u]=dep[fa]+1;
    f[u][0]=fa;
    for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    for(auto &v: g[u])
        if(v!=fa)
            dfs(v,u);
}
int lca(int a,int b) //求最近公共祖先 
{
    if(dep[a]<dep[b])    swap(a,b);
    for(int i=17;i>=0;i--)
    {
        if(dep[f[a][i]]>=dep[b])
            a=f[a][i];
        if(a==b)    return a;
    }
    for(int i=17;i>=0;i--)
        if(f[a][i]!=f[b][i])
            a=f[a][i],b=f[b][i];
    return f[a][0];
}
void solve(int u,int fa) //求前缀和数组 
{
    sum[u]=sum[fa]+tot[u];
    for(auto &v: g[u])
        if(v!=fa)
            solve(v,u);
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m); //输入数据 
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%lld%lld",&u,&v);
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&c[i].u,&c[i].v);
        c[i].lca=lca(c[i].u,c[i].v);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)    tot[c[i].lca]++; //记录tot 
    solve(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)    ans+=tot[i]*(tot[i]-1)/2; //情况一计算 
    for(int i=1;i<=m;i++)    ans+=sum[c[i].u]+sum[c[i].v]-2*sum[c[i].lca]; //情况二计算 
    printf("%lld",ans);
    while(1); //不加防抄袭神器的题解也不是好题解…… 
    return 0;
}