题意:给出n个没有区别的物品放入k个没有区别的盒子,求方案数
这个题目可谓计数dp的经典
我们令f[i][j][k]表示现在所有数和为i,有j个,最后一个为k的方案数
那么显然,f[i][j][k]=∑f[i-p][j-1][p](1<=p<=k)
这样用前缀和,可以做到kn^2,水到60pts
如何优化?我们发现状态表示其实是有可以改进的地方的,k这一位可以省掉
为什么呢?
我们发现,如果在分配方案中,加入一个1显然是没有问题的,不会导致不合法状态,也就是说,f[i][j]+=f[i-1][j-1]合法
另外呢,我们发现由于分配方案是递减的,所以对于每个数都加上1不会有问题,比如3,2,2变成4,3,3
也就是说f[i][j]+=f[i-j][j]合法
为什么这样不会遗漏?因为这两种情况分别都对应了最小数为1和最小数不为1的情况,这很类似第二类斯特林数
所以最后f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]
#include<stdio.h>
int n,k,f[5010][5010];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;++i) f[i][1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
for(int j=2;j<=i&&j<=k;++j)
f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-j][j])%998244353;
printf("%d
",f[n][k]);
}