CodeForces 1367F2 Flying Sort (Hard Version)

题意

给一个长度为(n)的数组，你可以有两种操作

• 将某一个数放置在数组开头
• 将某一个数放置在数组结尾

问最小操作多少次可以得到一个非递减数列

（比(F1)难在(n)变大，且数组中元素可以有相同的）

分析

因为数组中的数很大，我们可以将其离散化然后操作，则(a[i])为连续的整数，设(tot)种不同的数，则(1leq a[i] leq tot)

每个数最多操作一次，否则第一次可以不操作，那么我们就要找最多的不需要操作的数，如果不需要操作，则元素的位置不变，如果有这么一组不需要操作的数，我们可以发现，中间的数字是不能插进去的，所以这组数是在排序后仍相邻的数，则要找到最长的子序列，这个子序列在排序后仍然相邻，考虑以下几种情况

• 这组数相同，则没有限制
• 这组数中含有两种数，则要形如(i,i,i,i+1,i+1)这种形式，即排序后仍相邻
• 这组数含有三种以上的数，即形如(i,i,i+1,i+2,i+2,i+3)这种形式，那么中间的数（(i+1)，(i+2)）一定是被取完了，否则其他的(i+1)或者(i+2)要插进去只能重新排序，与中间数字不能插进去不符，即这几个数并不是相邻，例如(i,i+1,i+2,i+1)这种序列，(i,i+1,i+2)并不满足条件，因为(i+1)并没取完

设(dp[i][0])为只取相同的数且以(a[i])为结尾所得到的最长子序列，(dp[i][1])为(a[i])还没取完且所得到的以(a[i])为结尾最长子序列，(dp[i][2])为(a[i])取完且以(a[i])为结尾所得到的最长子序列，我们用(pos[i])表示数字(i)上次出现的位置，因为离散化了，所以数组可以满足，状态转移方程为（​(r[a[i]])表示(a[i])最后出现的位置，(l[a[i]])表示(a[i])最早出现的位置，(num[a[i]])表示(a[i])的个数，(pos[a[i]])表示上一个(a[i])出现的位置）：

dp[i][0] = dp[pos[a[i]]][0] + 1;
dp[i][1] = max(dp[pos[a[i]]][1] + 1, max(dp[pos[a[i] - 1]][0] + 1, dp[pos[a[i] - 1]][2] + 1));
if (i == r[a[i]])
    dp[i][2] = dp[l[a[i]]][1] + num[a[i]] - 1;

• (dp[i][0])，方程表示上一个位置的(a[i])接着取
• (dp[i][1])，方程表示上一个(a[i])接着取，或者上一个(a[i]-1)接着取，或者(a[i]-1)已经全部取完后接着取
• (dp[i][2])，方程表示从最早出现的(a[i])开始，后面都只取(a[i])

#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")

#include <bits/stdc++.h>

#define start ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll long long
#define int ll
#define ls st<<1
#define rs st<<1|1
#define pii pair<int,int>
#define rep(z, x, y) for(int z=x;z<=y;++z)
#define com bool operator<(const node &b)
using namespace std;
mt19937 rnd(chrono::high_resolution_clock::now().time_since_epoch().count());
const int maxn = (ll) 2e5 + 5;
const int mod = 998244353;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int T = 1;
int a[maxn], b[maxn];
int dp[maxn][3];
int l[maxn], r[maxn];
int pos[maxn], num[maxn];

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    rep(i, 1, n)cin >> a[i], b[i] = a[i], dp[i][0] = dp[i][1] = dp[i][2] = 0, l[i] = r[i] = 0, num[i] = 0;
    sort(b + 1, b + n + 1);
    int tot = unique(b + 1, b + n + 1) - (b + 1);
    rep(i, 1, n) {
        a[i] = lower_bound(b + 1, b + tot + 1, a[i]) - b;
        r[a[i]] = i;
        if (!l[a[i]])
            l[a[i]] = i, pos[a[i]] = i;
        ++num[a[i]];
    }
    int maxx = 1;
    rep(i, 1, n) {
        dp[i][0] = dp[pos[a[i]]][0] + 1;
        dp[i][1] = max(dp[pos[a[i]]][1] + 1, max(dp[pos[a[i] - 1]][0] + 1, dp[pos[a[i] - 1]][2] + 1));
        if (i == r[a[i]])
            dp[i][2] = dp[l[a[i]]][1] + num[a[i]] - 1;
        pos[a[i]] = i;
        rep(j, 0, 2)maxx = max(maxx, dp[i][j]);
    }
    cout << n - maxx << '
';
}

signed main() {
    start;
    cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}