数学-不等式

基础知识：

不等式的概念：

不等式（ (inequality) ）是一个由不等号（ (<,leq,>,geq,=, ot=) ）等连接的式子。

不等式的性质：

1. (A geq C Rightarrow Apm Bgeq Cpm B)
2. $A geq C Rightarrow A imes Bgeq C imes B $（ (B>0) ）
3. $A geq C Rightarrow A imes Bleq C imes B $（ (B<0) ）
4. $A geq C Rightarrow Adiv Bgeq Cdiv B $（ (B>0) ）
5. $A geq C Rightarrow Adiv Bleq Cdiv B $（ (B<0) ）
6. $A geq C geq 0 Rightarrow A^Bgeq C^B $（ (Bgeq 1) ）
7. $A geq C geq 0 Rightarrow Adiv Bleq Cdiv B $（ (B<0) ）

几个重要的不等式：

重要不等式

[A^2+B^2 geq 2ABRightarrow A^2+B^2geq 2lvert AB vert ]

基本不等式

[A+Bgeq 2sqrt{AB} A,Bin R^+ ]

[A+B= 2sqrt{AB} A=B ]

从而有这么句话：

1. 积定和最小。
2. 和定积最大。

不等式之间的大小比较：

[dfrac{2}{frac{1}{A}+frac{1}{B}}leq sqrt{AB} leq dfrac{A+B}{2} leq sqrt{dfrac{A^2+B^2}{2}} ]

不等式重要结论：

[dfrac{1}{A}+Ageq2Rightarrowdfrac{B}{A}+dfrac{A}{B}geq2 ]

柯西不等式：

(vec {a}=(x_1,y_1), vec {b}=(x_2,y_2))

[lvert vec {a}vec {b} vert leq lvert vec {a} vert lvert vec{b} vert \ Rightarrow lvert x_1x_2+y_1y_2 vert leq sqrt{x_1^2+y_1^2}sqrt{x_2^2+y_2^2}\ Rightarrow(x_1x_2+y_1y_2)^2leq(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2) ]

例题：

咕咕咕。