基础矩阵学习笔记

基础知识

矩阵的概念

矩阵（ (matrix) ）是一个由数排列成的矩形，例如

[A= egin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \ a_{2,1} &a_{2,2}&a_{2,3} end{bmatrix}= egin{bmatrix} 1 & 2&3 \ 4 & 5&6 end{bmatrix} quad ]

是一个 (2 imes3) 的矩阵 (A=(a_{i,j}))。其中 (i=1,2)，(j=1,2,3)。第 (i) 行第 (j) 列的元素用 (a_{i,j}) 表示。

由此，可以开一个结构体 (Matrix)，并作初始化。

struct Matrix
{
    int a[N][N];	
    Matrix()
    {
        memset(a,0,sizeof a);
    }
}a,ans;

矩阵的运算

加法和减法就是每个对应的元素加或减。但是注意，两个矩阵行数、列数要相等。

Matrix operator +(const Matrix x)
{
    Matrix z;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            z.a[i][j]=(a[i][j]+x.a[i][j])%mod;
        }
    }
    return z;
}

乘法比较复杂 (qwq)。有两个矩阵 (Z) 和 (Y)。当 (Z) 的列数等于 (Y) 的行数时，定义一个矩阵 (Z)，可得 (Z=XY)。如果 (X) 是 (m imes n) 矩阵，(Y) 是 (n imes p) 矩阵，那么 (Z) 是 (n imes p) 矩阵。

其中 (Z_{i,j}) 满足

[Z_{ij}=sum_{k=1}^mX_{ik}Y_{kj} ]

根据这个定义容易得到 (O(n^3)) 的矩阵乘法，由于作者很逊，所以不会复杂度更优秀的做法。

Matrix operator *(const Matrix x)
{
    Matrix z;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int k=1;k<=n;k++)//据说k写在第二层循环会快一点？
        {   
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+a[i][k]*x.a[k][j])%mod;
            }
        }
    }
    return z;
}

然后，去做做这道题练手吧

对了，矩阵乘法还有个性质，就是矩阵乘法也是满足乘法结合律的，这对接下来很有帮助。

逆矩阵

在取模下，每个元素 (a) 都有唯一的逆元 (a^{-1}) 使得 (a imes a^{-1}=a^{-1} imes a=1)。（可以用 (exgcd) 来计算）

同样，对于 (n imes n) 的矩阵，也存在一些特殊的矩阵 (A) 存在唯一的逆元 (A^{-1}) 使得 (A imes A^{-1}=A^{-1} imes A=I_{n})，其中 (I_{n}) 是 (n) 阶的单位矩阵。

[ I{n}= egin{bmatrix} 1&0&cdots&0\0 &1&cdots&0\vdots &vdots &ddots&vdots\0&0&cdots&1 end{bmatrix} ]

矩阵快速幂

传送门

就是一个快速幂不过把之前的数变成了矩阵而已。

构造矩阵

讲的差不多了，讲下构造矩阵吧 (qwq)。

例题 (1)：

先定义一个 (1 imes 2) 的矩阵

[ egin{bmatrix} fib_{n-2}&fib_{n-1} end{bmatrix} ]

根据题意，显然，通过递推式，我们要得到一个 (1 imes 2) 的矩阵

[ egin{bmatrix} fib_{n-1}&fib_{n} end{bmatrix} ]

然后，因为 (fib_{n}=fib_{n-1}+fib_{n-2})，所以转换为

[ egin{bmatrix} fib_{n-1}&fib_{n-1}+fib_{n-2} end{bmatrix} ]

设通过乘以一个 (2 imes 2) 的矩阵 (A)来实现，即

[ egin{bmatrix} fib_{n-1}&fib_{n} end{bmatrix} imes A= egin{bmatrix} fib_{n-1}&fib_{n-1}+fib_{n-2} end{bmatrix} ]

根据矩阵乘法，很容易构造出这个矩阵 (A)。

[ A= egin{bmatrix} 0&1\1&1 end{bmatrix} ]

因为矩阵满足乘法结合律，所以

[ egin{bmatrix} fib_{1}&fib_{2} end{bmatrix} imes A^{n-1}= egin{bmatrix} fib_{n}&fib_{n+1} end{bmatrix} ]

的第一个元素即为所求。

例题 (2)：

跟例题1很类似，我们用同样的方法构造一个矩阵 (A)

先定义一个 (1 imes 3) 的矩阵

[ egin{bmatrix} fib_{n}&fib_{n-1 }&fib_{n-2} end{bmatrix} ]

根据题意，显然，通过递推式，我们要得到一个 (1 imes 3) 的矩阵

[ egin{bmatrix} fib_{n+1}&fib_{n}&fib_{n-1} end{bmatrix} ]

然后，因为 (fib_{n}=fib_{n-1}+fib_{n-3})，所以转换为

[ egin{bmatrix} fib_{n}+fib_{n-2}&fib_{n}&fib_{n-1} end{bmatrix} ]

于是就很容易构造出这个矩阵 (A)。

[ A= egin{bmatrix} 1&1&0\0&0&1\1&0&0 end{bmatrix} ]

所以

[ egin{bmatrix} fib_{3}&fib_{2}&fib_{1} end{bmatrix} imes A^{n-3}= egin{bmatrix} fib_{n}&fib_{n-1}&fib_{n-2} end{bmatrix} ]

的第一个元素即为所求。

例题 (3)：

题目是我自己口胡的

求数列
(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}+1,f_{1}=f_{2}=1)的第 (n) 项

其中(1leq n leq 2e^{9})

取模，所以不用考虑高精

模仿先前两个样例

先定义一个 (1 imes 3) 的矩阵

[ egin{bmatrix} fib_{n-2}&fib_{n-1 }&1 end{bmatrix} ]

显然，通过递推式，我们要得到一个 (1 imes 3) 的矩阵

[ egin{bmatrix} f_{n-1}&f_{n}&1 end{bmatrix} ]

然后，因为 (f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}+1)，所以转换为

[ egin{bmatrix} f_{n-1}&f_{n-1}+f_{n-2}+1&1 end{bmatrix} ]

于是就很容易构造出这个矩阵 (A)。

[ A= egin{bmatrix} 0&1&0\1&1&0\0&1&1 end{bmatrix} ]

所以

[ egin{bmatrix} fib_{1}&fib_{2}&1 end{bmatrix} imes A^{n-1}= egin{bmatrix} fib_{n}&fib_{n+1}&1 end{bmatrix} ]

的第一个元素即为所求。

例题4：

也是一道口胡的题

在例题1的基础上，再加

[ s_{n}=sum_{i=1}^nfib_{i} ]

求 (s_{n})，其中 (1leq nleq 2e^{9})

取模，所以不用考虑高精

自己去推吧qwq

最后答案是

[ egin{bmatrix} fib_{1}&fib_{2}&s_{1} end{bmatrix} imes A^{n-1}= egin{bmatrix} fib_{n}&fib_{n+1}&s_{n} end{bmatrix} ]

然后

[ A= egin{bmatrix} 0 &1& 0\ 1 &1& 1\ 0 &0 &1 end{bmatrix} ]

最后，给出个结论，如果有 (f_n=p imes f_{n-1}+q imes f_{n-2}+r imes n+s)，那么

[A= egin{bmatrix} 0& q &0& 0 &0\ 1 & p &1 & 0 &0\ 0 &0 &1 &0 &0\ 0 &r & 0& 1 & 0\ 0 &s& 0 &1& 1\ end{bmatrix} ]

补充：然后就能水道题了