欧几里得算法（代码及证明过程）

欧几里得算法（代码及证明过程）

一、基础知识

欧几里得算法的原理是 GCD递归定理

GCD递归定理：

对任意 非负整数 a 和 任意 整数 b，gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)

为了证明这个定理，我们首先需要知道一下几个有关 gcd 的基本知识跟相关等式跟推论

1.1 基本知识：

1. 公约数

   定义：如果 d|a（d 整除 a）且 d|b，那么 d 是 a 与 b 的 公约数。

   性质：如果 d|a 且 d|b，那么 d|(ax + by); x,y ∈ Z(任意整数)

2. 最大公约数

   定义：两个非零整数 a 和 b 的公约数里最大的就是 最大公约数。

1.2 相关等式跟推论：

1. 等式 1：如果 a|b 且 b|a 那么 a = ±b
2. 等式 2：如果 d|a 且 d|b 那么 d|(ax + by); x,y ∈ Z
3. 等式 3： a mod n = a - n⌊a/n⌋(向下整除); a∈Z,n∈N*(正整数)
4. 推论 1：对任意整数 a , b，如果 d|a 且 d|b 则 d|gcd(a, b)

二、证明过程

如果我们想要获得结论gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)

那么我们只需要证明gcd(a,b)|gcd(b, a mod b) 且 gcd(b,a mod b)|gcd(a,b)就可以利用等式 1来证明他俩相等了。

2.1 证明 gcd(a,b)|gcd(b,a mod b)

设 d = gcd(a, b)

∴ d|a 且 d|b

∵ 由 等式 3 可知：(a mod b) = a - qb q = ⌊a/b⌋

∴ a mod b 是 a 与 b 的线性组合

∴ 由 等式 2 可知 ：d|(a mod b)

∵ d|b 且 d|(a mod b)

∴ 由 推论 1 可知 d|gcd(b, a mod b)

等价结论： gcd(a, b)|gcd(b, a mod b)

2.2 证明 gcd(b,a mod b)|gcd(a,b)

设 c = gcd(b, a mod b)

∴ c|b 且 c|(a mod b)

∵ a = qb + r

​ r = a mod b

​ q = ⌊a/b⌋

∴ a 是 b 和 (a mod b) 的线性组合

∴ 由 等式 2 可知：c|a

∵ c|a 且 c|b

∴ 由 推论 1 可知：c|gcd(a, b)

等价结论： gcd(b, a mod b)|gcd(a, b)s

2.3 证明 gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)

由 上述两个结论 可知：

gcd(a, b)|gcd(b, a mod b)

gcd(b, a mod b)|gcd(a, b)

∴ 由 等式 1 可知：

​ gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

到这里 GCD递归定理 就证明结束了

三、代码

在这里我放上几个常用的获取 两个数字GCD的代码：

1. 递归：

   // 一般形式
   int gcd(int a, int b) {
       if(b == 0)
           return a;
       return gcd(b, a % b);
   }
   

   // 简化形式
   int gcd(int a, int b) {
       return (b==0) ? a : gcd(b, a % b);
   }
   

2. 非递归：

   int gcd(int a, int b) {
       int tmp;
       while(b != 0) {
           tmp = b;
           b = a % b;
           a = tmp;
       }
       return a;
   }
   

3. 位运算：

   // 一般形式
   int gcd(int a, int b) {
       while(b) {
           a %= b;
           // 下面三行是交换 a 跟 b 的值
           b ^= a;
           a ^= b;
           b ^= a;
       }
       return a;
   }
   

   // 简化版
   int gcd(int a,int b) {
       while(b^=a^=b^=a%=b);
       return a;
   }
   

四、参考资料

《算法导论 （第三版）》 -- 第31章 数论算法

GCD算法_Niteip's blog-CSDN博客_gcd 算法