(quad)最近在你谷上做了几道"换根操作"的树链剖分题，觉得有必要记录一下，以免以后忘记了。(如果没有见过这种题的可以去做做P3979 遥远的国度和CF916E Jamie and Tree)
(quad)相信你已经看过这两道题了(没看过也没有没关系)，其实可以发现在一棵树中，只有父亲(祖先)，子树，深度，会因为根节点的变化而变化，所以题目一般需要你有换根操作，子树修改操作，求 (LCA) (最近公共祖先)，我们分别来考虑一下。(可以看看下面这张图来理解，题目中的图)
)
(quad)因为每换一次根，树中的很多信息都会改变，不可能每次换根都跑两便 (dfs) 预处理，所以我们考虑其他方法，对于单纯的换根操作，只需要设置一个全局变量 (root) 来存储根的编号( (root) 初始化为 (1) ，默认以 (1) 为根)，对于其他操作，再通过分类讨论 (root) 的位置来进行操作。
(quad)因为这题我们肯定用树链剖分解题，所以对于原图( (root==1) )的情况下 (LCA) 的求法肯定是使用树链剖分的(当然如果读者愿意专门打个倍增，那么你们随意)
(quad)注意：(小写) (lca(x,y)) 表示在以1为根的树中 (x) 和 (y) 的最近公共祖先，(大写) (LCA(x,y)) 表示在以 (root) 为根的树中 (x) 和 (y) 的最近公共祖先。
il int lca(int x,int y) //模板树链剖分求LCA
{
int fx=top[x],fy=top[y];
while(fx!=fy)
{
if(dep[fx]<dep[fy])swap(x,y),swap(fx,fy);
x=father[fx];fx=top[x];
}
if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
return x;
}
(quad)接下来我们就要对 (root) 的位置进行分类讨论了，代码先贴出来给你们看看。
il int LCA(int x,int y)
{
if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
int xr=lca(x,root),yr=lca(y,root),xy=lca(x,y);
if(xy==x)
{
if(xr==x){if(yr==y)return y;return yr;}
return x;
}
if(xr==x)return x;if(yr==y)return y;
if((xr==root&&xy==yr)||(yr==root&&xy==xr))return root;
if(xr==yr)return xy;
if(xy!=xr)return xr;return yr;
}
(quad)另外我们可以再画几张图来方便理解。
一.当 (lca(x,y)==x) (可以先按深度调序， (dep[x]<=dep[y]))
(quad) (1). 情况 (1) ：(root) 在 (x) 的子树中，也在 (y) 的子树中，即 (lca(x,root)==x) && (lca(y,root)==y) ，此时 (LCA(x,y)) 是 (y) ，因为图要反过来看(以 (root) 为根)
(quad) (2). 情况 (2) ： (root) 在 (x) 的子树中，但不在 (y) 的子树中，即 (lca(x,root)) ，此时 (LCA(x,y)) 是 (lca(y,root))。
(quad) (3). 情况 (3) ：其他情况下， (LCA(x,y)) 就是 (x) 。
二.当 (lca(x,y)!=x) (因为 (dep[x]<=dep[y])，所以 (lca(x,y)!=y) ， (x) , (y) 在不同子树上)
(quad) 1. 情况1：( (lca(x,root)==x) )||( (lca(x,root)==x) ),root在x(或y)的子树中时， (LCA(x,y)) 为 (x) (或 (y) )，显然。
(quad) 2. 情况2：( (lca(x,root)==root) && (lca(x,y)==lca(y,root)) )||( (lca(y,root)==root) && (lca(x,y)==lca(x,root)))，即 (root) 在 (x) 到 (y) 的简单路径上时，答案为 (root) 。(也可以用深度判断， ( (lca(x,root)===root) && (dep[root]>=dep[lca(x,y)]) )||( (lca(y,root)==root) && (dep[root]>=dep[lca(x,y)]) ))
(quad) 3. 情况3： (lca(x,root)==lca(y,root)) ，即 (root) 在上方时，(LCA(x,y)) 为 (lca(x,y)) 。
(quad) 4. 情况4：当 (root) 在(x)，(y) 的链上节点的子树中时， (LCA(x,y)) 为那个链上节点。
(quad)这样就把树上所有 (root) 位置的情况都考虑到了，不重不漏。
(quad) 情况 (1) ：当 (x=root) 时， (x) 就是此时整棵树的根，那么就是全局修改(查询)。
(quad) 情况 (2) ：当 (root) 在x子树中时，就需要特别判断了，根据图像我们可以发现此时x的真正子树是包括除了 (root) 方向上的子树之外其他所有节点。
(quad) 情况 (3) ：其他情况下 (x) 的子树以 (root) 为根和以 (1) 为根是一样的。
(quad) 以上就是关于树链剖分 "换根操作" 笔记的全部内容了，如果喜欢，不妨点个赞吧！