素数筛法 模板

为什么只遍历到sqrt(n)就够了？

反证法:
假设只遍历2～sqrt(n)不能把所有非素数置为false，即遍历完了2～sqrt(n)后，在sqrt(n)～n范围内仍有一个非素数k，但isprime[k]=true。

证: k在sqrt(k)之前一定有一个素数因子(任何非素数都可以拆成素数的乘积，所以k至少有一个素数因子)，sqrt(k)肯定小于sqrt(n)，所以sqrt(n)之前一定有一个k的素数因子y，那么根据代码中的算法，i=y的时候，k肯定会被置为非素数，即此时isprime[k]就会被置为false，原假设不成立。
因此只需遍历2～sqrt(n)即可。

 此方法时间复杂度为O(n*loglogn)，空间复杂度为O(n)

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

#define MAXN 10000
int prime[MAXN+10];     // 保存筛得的素数
int primeSize;          // 保存素数的个数
bool mark[MAXN+10];     // 若mark[i]为true，表示i被标记为素数 

void init()
{
    for(int i = 2; i <= MAXN; ++i)
        mark[i] = true;        // 初始化，所有数字均被标记为素数
    primeSize = 0;
    int m = sqrt(MAXN+1);    // sqrt函数比较耗时，所以这里把它提到循环外面
    for(int i = 2; i <= m; ++i)
    {
        if(mark[i] == true)
        {
            prime[primeSize++] = i;
            for(int j = i*i; j <= MAXN; j += i)    
                mark[j] = false;    // 该数的所有倍数都不是素数 
        } 
    } 
}