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区间求和问题-医院卖药
假设有一家医院，医院有卖药的地方，不同的药品有不同的数量。每次开药、进药都要在计算机里面记录数量变化，这样方便医院的管理。那么我们该如何实现这样的程序？当然，药品数量的储存用数组是比较合适的（真实的项目当然要用数据库）
int a[8] = {1,2,3,4,5,6,7,8};
现在，给出指令，第1号到第7号，这7个药品的数量全部加8，那么代码实现就是标准的for循环了：
for(int i = 0;i < 7;i++){ a[i] += 8; }
同样，如果进药，仍然循环即可。所以对于区间数量的变化，时间复杂度为O(n)
那么现在我们需要算所有药品的数量，最简单的方法仍然是for循环：
1 int sum = 0; 2 for(int i = 0;i < 8;i++){ 3 sum += a[i]; 4 }
这样，就算我们提高要求，求出区间[a,b]之间的和，仍然遍历即可，算法复杂度为O(b-a)
看起来，我们对于区间的操作，无论是求和还是数据修改，都能在线性的时间段内完成。但是这样的时间复杂度其实并不好。一般来说，比赛中数据量1000000就差不多了，但是我们的操作数量可是非常多的。这样的数据范围：有m个数据0<m<=1000000，有n次操作0<n<10000。那么这样，就算是线性的时间复杂度仍然有超时的可能。
所以，我们就需要用线段树这样的数据结构来储存数据，从而降低操作的时间复杂度。
什么是线段树
线段树的主要思想是二分，也就是通过二分的方法来查找节点。首先看一下线段树的图的表示（这里用了百度百科的图）
实际上，这是数据为8的线段树。蓝色的标记是二叉树的节点编号，最下面的红色的框体框住的8个叶子就是实际上数据存放的位置。而节点内部写的区间，就是指数据存放区间的和。例如2号节点，里面区间是[1,4]也就是1号到4号之间的数据的和。
线段树的操作-建树
基本的线段树就如上图所示，那么我们首先应该基于一段数据进行建树操作。可以看出，线段树是非常耗费空间的。所以我们不管是用结构体还是数组，在表示线段树的时候都要在数据量n的情况下多开更大的空间。一般都是开四倍。所以基本的声明与初始化如下：
1 #define MAX 2333 2 3 int tree[4*MAX]; 4 5 void init() 6 { 7 memset(tree,0,sizeof(tree)); 8 memset(lz, 0, sizeof(lz)); 9 }
然后就是建树了，我们需要将数组变成一个树。代码如下：
1 void build(int node, int l, int r) 2 { 3 if(l == r) // 到达叶子节点，赋值 4 { 5 scanf("%d", &tree[node]); 6 return; 7 } 8 9 int mid = (l+r)/2; 10 build(node*2, l, mid); 11 build(node*2+1, mid+1, r); 12 13 tree[node] = tree[node*2] + tree[node*2+1]; 14 }
这样的建树，是一个递归的过程。l与r分别表示区间，结合上面的图，当l==r的时候说明递归已经遍历到叶子节点了，而这个节点node也是二叉树的节点编号。对应了数组的下标。所以进行赋值。然后直接return进行回溯。那么在正常递归的时候，我们需要利用二叉树的性质，即对于node编号的节点而言，左子树编号为2*node，右子树为2*node+1。同样，由于二分的性质，利用mid = (l+r)/2，就可以获取下一个子树的区间范围。
在回溯的时候，是从树的最下层开始向最上层回溯，那么同样利用二叉树的性质，我们可以轻松将子树的数据加到父节点上。这样，当函数完成的时候，我们就可以利用数组来构建了一个线段树。
线段树的操作-单点修改
线段树并不必须要进行区间的操作，如果是对单点进行操作，完全可以用更快的方法来实现。而对于单点修改而言，其实相比区间修改的代码要简单很多（因为lazy数组的存在），所以能用针对单点的修改最好不要用区间修改。单点更新非常类似二分查找，通过递归找到更新点的位置，在回溯的时候更新所有节点的值。代码：
1 // 单点更新，node为1(从根节点开始)，lr为根节点的区间，index为更新点，n为更新值 2 void update(int node,int l,int r,int index,int n) 3 { 4 if(l == r) 5 { 6 tree[node] += n; // 更新方式，可以自由改动 7 return; 8 } 9 int mid = (l+r) / 2; 10 // push_down(node,mid-l+1,r-mid); 若既有点更新又有区间更新，需要这句话 11 if(index <= mid) 12 update(n,index,l,mid,node*2); 13 else 14 update(n,index,mid+1,r,node*2+1); 15 tree[node] = tree[node*2] + tree[node*2 + 1]; // 回溯过程，需要将线段树上层数据更新 16 }
l与r就是指当前节点的区间范围，刚开始肯定是填1,8了，因为线段树的最上边节点代表的范围（参照上图的白色区间字体）就是1,8。那么，如果l==r，就说明到达了叶子节点，当然就是需要更新的节点了。如何进入递归？就跟二分一样，index与mid进行判断，看是走左子树还是右子树。最后一定不要忘记回溯，因为叶子节点更新后，上层节点的值也需要更新，这样才算维护了线段树。
里面有一行注释的代码，这里需要把后面的懒惰标记、区间操作学完才能理解。现在就当不存在吧。
懒惰标记
在进行区间操作之前，要首先理解线段树的懒惰标记，试想，我们在操作的时候有可能有这样的操作。首先进行区间修改，修改了800次，然后再进行一次查询。这样，如果我们每次都将整个线段树的数据进行更新，实际上是非常慢的，如果我们能用一段空间，来记录修改数据，只有在使用的时候，一次性更新，就非常的方便。
所以这也是懒惰标记的作用。可以先对修改的数据进行储存，只有在使用的时候才更新线段树。那么，理论上我们应该建一个跟线段树同样大小的数组，称为懒惰数组，表示了每个节点的懒惰标记。有这样的操作：
1.修改数据的时候，每次递归到某节点，修改数据以后将数据的变化添加到数组中。
2.当使用到这个节点的时候，发现对应的懒惰标记存在，那么就应该更新该节点，以及以下的所有节点的数据，方便使用。
总之，就是不使用的时候就一直在积累，在使用的时候再统一更新。
那么懒惰数组的更新非常简单，对线段树更新的时候就可以添加到懒惰标记，但是在使用的时候，我们需要用一个函数来完成懒惰标记的下传操作，也就是更新积累的值。代码：
1 void push_down(int node, int l, int r) 2 { 3 if(lz[node]) 4 { 5 int mid = (l+r)/2; 6 lz[node*2] += lz[node]; 7 lz[node*2+1] += lz[node]; 8 tree[node*2] += (mid-l+1)*lz[node]; 9 tree[node*2+1] += (r-mid)*lz[node]; 10 lz[node] = 0; 11 } 12 }
lz数组，即lazy，就是懒惰标记数组。可以看出，当lz[node]存在值的时候，就说明现在我在使用这个节点，而这个节点以及其下的节点需要更新了，所以就利用二叉树的性质向下传递更新数据，同时更新线段树中的数据。最终，要将该节点的懒惰标记清零。
注意，下推的时候不是一直更新到叶子节点，而是只更新当前节点以及2个子树，因为实际操作的时候，只要碰到对某节点的操作就要调用push_down()函数，所以每次只用下推一层即可。
push_down()函数的使用需要在下面的区间操作中添加。
线段树的操作-区间更新
单点更新类似二分查找，更新的时候对经过的路径进行操作就可以了。但是区间更新需要考虑整个区间。线段树除了叶子节点，都表示了一段区间的值，那么就要配合懒惰标记在整个区间上进行操作。先看代码：
1 // 区间更新，lr为更新范围，LR为线段树范围，add为更新值 2 void update_range(int node, int l, int r, int L, int R, int add) 3 { 4 if(l <= L && r >= R) 5 { 6 lz[node] += add; 7 tree[node] += (R-L+1)*add; // 更新方式 8 return; 9 } 10 11 push_down(node, L, R); 12 int mid = (L+R)/2; 13 if(mid >= l) // 进入左子树 14 update_range(node*2, l, r, L, mid, add); 15 if(r > mid) // 进入右子树 16 update_range(node*2+1, l, r, mid+1, R, add); 17 18 tree[node] = tree[node*2] + tree[node*2 + 1]; 19 }
仍然以[1,8]区间的线段树为例，修改[1,6]的区间，使区间内的数据全部加1。那么我们可以在线段树图的基础上手动走一遍这个代码，来理解线段树的区间操作以及与懒惰标记的配合。
这个是一个线段树，现在我们需要对[1,6]范围内进行加一，那么就应该这样：
update_range(1,1,6,1,8,1); // 从结点1，即最上边开始
我们手动走一遍上述代码，首先，if判断不成立。这个if判断主要判定的是区间，我们每次递归进入函数，操作区间与当前结点表示区间总共有2种可能：
1.操作区间完全与结点表示区间重合。此时，说明我们已经可以对该结点进行操作了。
2.操作区间在结点表示区间内。此时，说明现在的结点表示空间太大了，需要向下寻找更合适的区间。
3.操作区间比结点表示区间大，只有向下推的时候才能出现这样的情况，跟第一种可能的结果一样，对结点进行操作就行了。
4.操作区间与结点表去区间只有一部分重合。只有向下推的时候才能出现这样的情况，跟第二种可能的结果一样，下推。
5.操作区间与结点表示区间完全不重合。无操作，等待程序自己结束。
其他可能是不存在的，例如操作区间大于结点表示区间。因为操作区间最大不可能超过线段树的区间，所以越分越小的情况下，最少就是跟结点表示区间一致。
所以，这个if，就是判断操作区间与结点表示区间满足什么条件。接着上例，[1,6]与[1,8]相比，明显是第二种情况，所以需要向下推移。此时，由于开始接触下面的结点了，所以需要调用push_down，进行懒惰标记向下推移，保证接触的是数据已经修改过的结点。然后当然是区分左子树右子树了，2种可能，进入左子树或右子树。
首先是进入左子树的情况，此时操作区间仍然是[1,6]，而结点表示区间是[1,4]出现了情况3。此时，说明[1,4]区间的所有数据都要变化。这也进入了if判断之中。不要担心[5,6]区间，这一部分已经递归进入右子树了。此时，在该结点处更新懒惰标记与数据信息。注意这句代码：
tree[node] += 1LL*(R - L + 1)*add;
[1,4]结点存放的是1-4的数据，所以每个数据+1，这个结点就要+4。同时，我们已经标记懒惰标记了，所以直接return。下面的结点全部不更新，等到需要的时候在下推就行了。至此，左子树的递归就完成了。return后回溯，此时进入右子树的递归。
进入右子树，此时操作区间仍然是[1,6]，而结点表示区间则变成了[5,8]，是情况4，所以仍然下推。这时候，左子树变成[5,6]，右子树变成[7,8]。左子树变成情况1了，那么就进行更新。右子树已经完全脱离区间，所以不用管，等他自己递归完成后没有任何操作地结束吧。
注意，程序的最后还有回溯这个过程。确实，我们的操作因为懒惰数组是不再向下传递了。但是已经更新的结点需要在回溯的时候向上更新。由于刚开始，我们就是从结点1开始的，所以回溯一定能将更新结点之前的结点全部更新。
最后得到的图如下：
红字就是更新的结点，而旁边标记的红色的1就是懒惰标记。下次调用有懒惰标记的结点就会导致更新与向下传递懒惰标记。这样，我们就完成了区间更新的操作。
所以，这里有最最最重要的一点：由于懒惰标记，所以很多数据是没有变化的。如果在一次区间更新后就需要调用真实数据，那么应该先向下更新全部数据后再调用。否则得到的数据是未更新的错误数据。这样，我们也能理解单点操作的那一行注释的代码了，其实就是下推懒惰标记。因为只要使用了区间操作，就有可能有懒惰标记产生。所以需要使用push_down()来下推。
线段树的操作-区间查找
区间查找的原理跟区间更新基本一样，也是看结点表示的数据范围有不同的操作。同样，在到某个结点的时候一定要调用push_down()。不同点在于跟数据操作无关，但是需要一个sum来储存收集到的区间数据，同时最后return。这样在递归完成以后最后返回的就是区间和了。理解区间更新后，区间查找的代码就非常容易了：
1 // 区间查找 2 int query_range(int node, int l, int r, int L, int R) 3 { 4 if(l <= L && r >= R) 5 return tree[node]; 6 push_down(node, L, R); 7 int mid = (L+R)/2; 8 int sum = 0; 9 if(mid >= l) 10 sum += query_range(node*2, l, r, L, mid); 11 if(mid < r) 12 sum += query_range(node*2+1, l, r, mid+1, R); 13 14 return sum; 15 }
脱离lazy数组
lazy数组的使用在很大程度将降低了解决问题所耗费的时间，但是也增加了对模板的修改难度。诚然，lazy很实用，但是在一些问题的构造上并不容易修改。我们平常的区间修改，整个区间的数值变化是统一的，所以我们能够在数学上提前好多个结点先算出来更改情况。但是有很多问题并不是这样的。
例如：hdu4027。11年上海网络赛，要求区间内对每个节点的数值取其二次根。那么再考虑lazy数组就是徒生烦恼。如果我们抛弃lazy数组，直接每次都更新到叶子结点，同时考虑剪枝，速度也并不慢（500ms）。所以，在区间操作不平衡，同时可以剪枝的情况下，完全可以抛弃lazy数组，从而修改为：
1 boolean cleck(int node,int l,int r){ 2 // 剪枝条件 3 } 4 5 void update_range(int node, int l, int r, int L, int R) { 6 if (L == R) { 7 tree[node] = 1; // 更新方式 8 return; 9 } 10 int mid = (L + R) / 2; 11 if (mid >= l && cleck(node*2,L,mid)) update_range(node * 2, l, r, L, mid); 12 if (mid < r && cleck(node*2+1,mid+1,R)) update_range(node * 2 + 1, l, r, mid + 1, R); 13 tree[node] = tree[node * 2] + tree[node * 2 + 1]; 14 }
抛弃lazy数组，l与r是区间范围，每次递归修改的是L与R，表示的是实际区间范围。当L == R的时候就到达叶子节点了。每次递归的时候添加剪枝条件，满足了才能继续递归。所有非叶子结点的更新全部在回溯的过程中进行。