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  • 卡特兰数的计算

    卡特兰数的介绍见:卡特兰数及其应用 

    各公式求解算法

     公式1和公式2可以使用循环递推来求,公式3和公式4,可以先写一个函数求出组合数C(n,m),再用组合数进行计算。
     可以使用以下递推式来求组合数C(n,m),C(n,m)可以用二维数组C[n][m]表示,通过以下公式,可以递推得出每一项的C[i][j]的值。
    组合数的计算见:组合数大小的求法
    注意:如果这个数太大,那么题目可能会要求取模,此时使用第4个公式更好。因为加减运算对取模结果没有影响。
     

    代码实现

    /* 公式1 */
    #define MAXN 20
    int h[MAXN];
    int n;
    int main()
    {
        scanf("%d", &n);
        h[0] = 1;
        h[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; ++i) 
        {
            for(int j = 0; j <= i-1; ++j)
            {
                h[i] += h[j] * h[i-1-j];
            }
        }
        
        printf("%d ", h[n]);
        
        return 0;
    }
    
    
    /* 公式2 */
    #define MAXN 20
    int h[MAXN];
    int n;
    int main()
    {
        scanf("%d", &n);
        h[0] = 1;
        h[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; ++i) 
        {
            h[i] = h[i-1] * (4*i-2) / (i+1);  
        }
        
        printf("%d ", h[n]);
        
        return 0;
    }
    
    
    /* 公式3 */
    #define MAXN 20
    int C[MAXN][MAXN];
    int n;
    int main()
    {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= 2*n; ++i) 
        {
            C[i][0] = C[i][i] = 1;
            for(int j = 1; j < i; ++j)
            {
                C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
            }
        }
        
        printf("%d ", C[2*n][n]/(n+1));
        
        return 0;
    }
    
    
    /* 公式4 */
    #define MAXN 20
    int C[MAXN][MAXN];
    int n;
    int main()
    {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= 2*n; ++i) 
        {
            C[i][0] = C[i][i] = 1;
            for(int j = 1; j < i; ++j)
            {
                C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
            }
        }
        
        printf("%d ", C[2*n][n] - C[2*n][n+1]);
        
        return 0;
    }
     
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