思路
这题如果直接用暴力法，1~n逐一判断，每个数逐位判断需要O(L)的时间，其中L为n的位数，所以总的时间复杂度为O(L*n)，这显然会超时。
方法：逐位判断，找规律
假设n是4位数abcd, 即n=abcd，从右往左逐位分析：
- 对于n中的第4位数d：
- 如果d ≥ 1，对于1~n中第4位数为1的数，则其他3位数可以为000~abc，共1+abc种情况，即(000~abc)1；
- 如果d = 0, 对于1~n中第4位数为1的数，则其他3位数可以为000~abc-1，共1+abc-1种情况，即(000~abc-1)1。
- 对于n中的第3位数c：
- 如果c>1，对于1~n中第3位数为1的数，其他3位数可以是000~ab9,共有1+ab9种情况，即该数可以为(00~ab)1(0~9)；
- 如果c=1，对于1~n中第3位数为1的数，其他3位数可以是000~abd,共有1+abd种情况，即该数可以为(00~ab)1(0~d)；
- 如果c=0，对于1~n中第3位数为1的数，其他3位数可以是000~(ab-1)9,共有1+(ab-1)9种情况，即该数可以为(00~ab-1)1(0~9)。
- 对于n中的第2位数b：
- 如果b>1，对于1~n中第2位数为1的数，其他3位数可以是000~a99,共有1+a99种情况，即该数可以为(0~a)1(00~99)；
- 如果b=1，对于1~n中第2位数为1的数，其他3位数可以是000~acd,共有1+acd种情况，即该数可以为(0~a)1(00~cd)；
- 如果b=0，对于1~n中第2位数为1的数，其他3位数可以是000~(a-1)99,共有1+(a-1)99种情况，即该数可以为(0~a-1)1(00~99)。
- 对于n中的第1位数a：
- 如果a>1，对于1~n中第1位数为1的数，其他3位数可以是000~999,共有1+999种情况，即该数可以为1(000~999)；
- 如果a=1，对于1~n中第1位数为1的数，其他3位数可以是000~bcd,共有1+bcd种情况，即该数可以为1(000~bcd)；
以上只是拿4位数举例子，无论n是几位数，规律都是和上面一样，可以依此法编写代码。
举例：
拿21058举个例子，从右往左逐位分析：
对于第5位8：
对于1~n中第5位数为1的数，左边的四位可以是0000~2105，共有2106种情况，即该数可以为(0~2105)1
对于第4位5：
对于1~n中第4位数为1的数，剩余的四位可以是0000~2109，共有2110种情况，即该数可以为(0~210)1(0~9)
对于第3位0：
对于1~n中第3位数为1的数，剩余的四位可以是0000~2099，共有2100种情况，即该数可以为(00~20)1(00~99)
对于第2位1：
对于1~n中第2位数为1的数，剩余的四位可以是0000~2058，共有2059种情况，即该数可以为(0~2)1(000~058)
对于第1位2：
对于1~n中第1位数为1的数，剩余的四位可以是0000~9999，共有10000种情况，即该数可以为1(0000~9999)
因此，共有2106+2110+2100+2059+10000 = 18375种情况。
注意：这种方法并没有漏算，比如110中有两个1，当判断到第2位的时候，第1位的1被算进去了，判断到第1位的时候，第2位的1也被算进去了，所以110中计算了两种情况，这和题目是相符的。
复杂度分析
时间复杂度：O(L2)，其中L为数字n的长度(位数)，在此处 L= log10n
空间复杂度：O(1)
根据以上分析，可以写出以下代码：
1 class Solution { 2 public: 3 int countDigitOne(int n) { 4 int res = 0; 5 int x = n; 6 7 //首先计算n的总位数len 8 int len = 0; 9 while(x) { 10 len++; 11 x /= 10; 12 } 13 14 x = n; // 假设n是4位数abcd, x=n=abcd 15 16 for(int i = len; i >= 1; --i) { 17 int m = x % 10; //m为当前第i位数的值 18 x /= 10; //x为当前第i位的左侧数字的大小(也就是n的前i位数的大小) 19 if(i == len) { 20 if(m >= 1) { 21 res += 1 + x; 22 } else { 23 res += 1 + (x-1); 24 } 25 } else { 26 if(m > 1) { 27 int rightDigitNum = len-i; 28 int t = x; 29 for(int j = 1; j <= rightDigitNum; ++j) { 30 t = t*10 + 9; 31 } 32 33 res += 1 + t; 34 } else if(m == 1) { 35 int t = x; 36 int r = 1; 37 int rightDigitNum = len-i; 38 for(int j = 1; j <= rightDigitNum; ++j) { 39 r *= 10; 40 t *= 10; 41 } 42 43 //n % r表示当前位右侧所有数字的大小 44 //最终算出来的t表示数字n去掉第i位数之后，剩余的数字的大小 45 t += n % r; 46 res += 1 + t; 47 48 } else { // m == 0 49 int rightDigitNum = len-i; 50 int t = x-1; 51 for(int j = 1; j <= rightDigitNum; ++j) { 52 t = t*10 + 9; 53 } 54 55 res += 1 + t; 56 57 } 58 } 59 } 60 return res; 61 } 62 63 };
