扩展欧几里得

窝们可以先来看一个式子：

[ax + by = gc d(a,b) ]

根据欧几里得可以得到：

[gcd(a,b) = gcd(b, a \% b) ]

不会欧几里得的同学们可以看这里

又根据原式可以推出 :

[gcd(b, a \% b) = b * x_1 + (a \% b) * y_1 ]

所以可以得到：

[a * x + b * y = b * x_1 + (a \% b) * y_1 ]

再化简，得：

[x * a + y * b = x_1 * b + (a - (frac{a}{b}) * b) * y_1 ]

运用主元法，可得：

[x * a + y * b = y_1 * a + (x_1 - frac{a}{b} * y_1) * b ]

窝们把 (a, b) 当作元，再来重新来看这个问题。

对于一个丢番图方程，(a * x + b * y = a_1 * x_1 + b_2 * y_1)

是不是肯定会有这样一组解：(a = a_1) 且 (b = b_2)

那么原方程是不是肯定会有一个这样的根：

[x = y_1 \ y = x_1 - frac{a}{b} * y_1 ]

如果你可以理解上面这些步骤，那么你肯定可以知道这个 (x, y) 是可以递归求解的。只不过要处理一下 (-frac{a}{b} * y_1)

那么,窝们先来看看代码怎么实现，说不定看完你就懂了。

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(b == 0) {x = 1, y = 0; return a;}//这个是一个必然存在的解，后面解释。
    exgcd(b, a % b, y, x);//这是不断递归，窝们前面对于y的变换法则中，窝们只管了x1，后面那个式子先不管他，至于前面这个a,b为什么要这样递归，是因为窝们转换原方程的时候是借助了欧几里得，所以窝们这个式子递归的时候也需要改变a,b。让a1,b1变成b,a % b;
    y -= (a / b) * x;//这里再来处理y转移的时候后面的那一部分。直接在递归的过程中去减去就行了，由于减完后这一层就直接结束了，所以不会影响其他 % 运算……运算的结果。
}

这里再来解释一下为什么 (b == 0) 的时候，原方程必有根。

如果 (b == 0) :

那么原式就可以化成这个样子：

[a * x + 0 * y = gcd(a, 0) = a ]

那么这个式子中，如果 (x == 1) 肯定会有 :

[x + 0 = x 原方程成立 ]

此时， (y) 可以取任意值，所以在那个里面的 (y) 不一定要赋值为 (0)； (1), (2), (3)都可以，不过赋值为 (0) 是最小的。

既然已经知道了(b == 0) 的时候必然有解，又可以理解前面的方程转化的过程，那么恭喜你，你证完扩展欧几里得辣！！！

你太巨辣！！！