【暖*墟】 #图论# 割点

【例题1】洛谷p3225 矿场搭建

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;

/*【p3225】矿场搭建 */

//【标签】数学统计 + 分情况讨论 + 割点 + 无向图双连通分量

/* 割点：在一个【无向图】中，如果有一个顶点集合，
        删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，
        图的连通分量增多，就称这个点集为割点【集合】。  */

// 双连通分量：无向图中的强连通分量，去掉任意一个节点都不会改变连通性

/*【tarjan算法求割点】
1.判断根节点：计算其子树数量，如果有2棵即以上的子树，就是割点。
2.回顾一下low[i]的定义：u及其子树中的点，能够连向到的dfn最小的点的dfn值。
2.对于边(u,v)，如果low[v]>=dfn[u]，那么low[v]没有返祖边，此时u就是割点。*/

/*【思路】统计每个双连通分量里的割点的个数，并分情况讨论。
1.若该连通分量里割点>=2，可以通过其他割点跑到其他的双连通分量里。
2.若该连通分量里割点=1，所以要在任意一个非割点处建一个出口。
3.若该连通分量里割点=0，说明它与外界完全不连通，需要建两个出口以防万一。*/

void reads(int &x){ //读入优化（正负整数）
    int fa=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')fa=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+s-'0';s=getchar();}
    x*=fa; //正负号
}

const int N=519;

int n,m,tot=0,head[N],dfn[N],low[N],cut[N],vis[N],root;

int dfn_=0,sum,cnt,cut_num; //连通块数sum，当前连通块节点数、割点数

int kase=0; ll ans1,ans2; //选点数，方案数

struct node{ int ver,nextt; }e[N*2];

void add(int u,int v){ e[++tot].ver=v,e[tot].nextt=head[u],head[u]=tot; }

void tarjan(int u,int fa){ //【tarjan求割点】
    
    dfn[u]=low[u]=++dfn_; int child=0;
    //fa是子树的根节点，如果儿子数>=2则是割点
   
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nextt){
      if(!dfn[e[i].ver]){ 
        tarjan(e[i].ver,u),low[u]=min(low[u],low[e[i].ver]);
        if(low[e[i].ver]>=dfn[u]&&u!=root) cut[u]=true;
        if(u==root) child++; //root节点的儿子数++
      } low[u]=min(low[u],dfn[e[i].ver]);
    } if(child>=2&&u==root) cut[u]=true;
}

void dfs(int u){ //遍历每个连通块
    vis[u]=sum; cnt++; //节点数cnt++
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nextt){
        if(cut[e[i].ver]&&vis[e[i].ver]!=sum) 
            cut_num++,vis[e[i].ver]=sum; //e[i].ver是割点
        if(!vis[e[i].ver]) dfs(e[i].ver); //非割点
    }
}

void init(){
    memset(head,0,sizeof(head));
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(cut,0,sizeof(cut));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dfn_=n=tot=sum=ans1=0,ans2=1;
}

int main(/*hs_love_wjy*/){
    while(scanf("%d",&m)==1&&m){
        init(); //日常清零
        for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
            reads(u),reads(v),n=max(n,max(u,v));
            add(u,v),add(v,u); //↑↑记录点的总个数n
        } for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) root=i,tarjan(i,0);
        for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]&&!cut[i]){
            sum++; cnt=cut_num=0; dfs(i); //到达一个新的连通块
            if(!cut_num) ans1+=2,ans2*=cnt*(cnt-1)/2; //建两个
            if(cut_num==1) ans1++,ans2*=cnt; //建一个
        } printf("Case %d: %lld %lld
",++kase,ans1,ans2);
    }
}

【例题2】洛谷p3469 BLO-Blockade

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;

/*【p3469】BLO-Blockade */

/* 割点：在一个【无向图】中，如果有一个顶点集合，
        删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，
        图的连通分量增多，就称这个点集为割点【集合】。  */

/*【tarjan算法求割点】
1.判断根节点：计算其子树数量，如果有2棵即以上的子树，就是割点。
2.回顾一下low[i]的定义：u及其子树中的点，能够连向到的dfn最小的点的dfn值。
2.对于边(u,v)，如果low[v]>=dfn[u]，那么low[v]没有返祖边，此时u就是割点。*/

void reads(int &x){ //读入优化（正负整数）
    int fa=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')fa=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+s-'0';s=getchar();}
    x*=fa; //正负号
}

const int N=1000019; ll ans[N];
 
int n,m,tot=0,head[N],dfn[N],low[N],cut[N],siz[N],dfn_=0;

struct node{ int ver,nextt; }e[N*2];

void add(int u,int v){ e[++tot].ver=v,e[tot].nextt=head[u],head[u]=tot; }

void tarjan(int u){ //【tarjan求割点】
    dfn[u]=low[u]=++dfn_; siz[u]=1;
    int son=0,sum=0; //对于每个新节点都要清零
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nextt){
      if(!dfn[e[i].ver]){
        tarjan(e[i].ver),siz[u]+=siz[e[i].ver];
        low[u]=min(low[u],low[e[i].ver]);
        if(low[e[i].ver]>=dfn[u]){
          ans[u]+=(ll)siz[e[i].ver]*(n-siz[e[i].ver]);
          sum+=siz[e[i].ver],son++;
          if(u!=1||son>1) cut[u]=true; }
      } else low[u]=min(low[u],dfn[e[i].ver]);
    } if(!cut[u]) ans[u]=2*(n-1);
      else ans[u]+=(ll)(n-sum-1)*(sum+1)+(n-1);
}

int main(/*hs_love_wjy*/){
    reads(n),reads(m);
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++)
        reads(u),reads(v),add(u,v),add(v,u);
    tarjan(1); //初始完全联通
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld
",ans[i]);
}

                                   ——时间划过风的轨迹，那个少年，还在等你。