矩阵求逆的思路与方法
逆矩阵的定义
若一个n*n的方阵A可逆,则存在一个n*n的方阵B,
使得。则称B是A的一个逆矩阵。A的逆矩阵记作A-1。
(1)验证两个矩阵互为逆矩阵
矩阵
按照矩阵的乘法满足: 。 故A,B互为逆矩阵。
(2)逆矩阵的唯一性
若矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的。
- 【证明】若B,C都是A的逆矩阵,则有:
。
- 所以B=C,即A的逆矩阵是唯一的。
(3)判定简单的矩阵不可逆
如
。假设有
是A的逆矩阵,
则有:
逆矩阵的性质定理
-
如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
-
A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
-
可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T 。
-
若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即:若AB=AC,则B=C。
-
两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
- 转置矩阵:将矩阵的行列互换得到的新矩阵,转置矩阵的行列式不变。
可逆等价条件
若|A|≠0,则矩阵A可逆,且 。 其中,A*为矩阵A的伴随矩阵。
求逆矩阵的初等变换法
将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵
。
对B施行初等行变换,即对A与I进行完全相同的若干初等行变换,目标是把A化为单位矩阵。
当A化为单位矩阵I的同时,B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。
如求
的逆矩阵A-1。
,
故A可逆并且,由右一半可得逆矩阵A-1 =
。
初等变换法计算原理
若n阶方阵A可逆,即A行等价I,即存在初等矩阵P1,P2,...,Pk;
使得 ,在此式子两端同时右乘A-1得:
。
比较两式可知:对A和I施行完全相同的若干初等行变换,
在这些初等行变化把A变成单位矩阵的同时,这些初等行变换也将单位矩阵化为A-1。
如果矩阵A和B互逆,则AB=BA=I。这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶)。
换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵 。
实例分析说明
- 相关知识介绍可以看 这里
假设孩子和家长出去旅游,去程坐的是bus,小孩票价为3元,家长票价为3.2元;
回程坐的是Train,小孩票价为3.5元,家长票价为3.6元。问题是分别求小孩和家长的人数。
我们亦可以用下列矩阵求之(纵向)。
洛谷P4783 【模板】矩阵求逆
#include <cstdio> #include <algorithm> #include <cctype> using namespace std; const int mod=1e9+7,N=888; int n,a[N][N]; inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;} #define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod) int ksm(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d); d=mul(d,d),k>>=1;}return f;} //ksm用于求逆元 int read(){ int x=0;char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar(); while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar(); return x; } int main(){ n=read(); for(int i=1;i<=n;i++) //在原矩阵右边接一个单位矩阵↓↓ { for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=read(); a[i][i+n]=1; } for(int i=1;i<=n;i++){ //矩阵初等变换,即高斯消元 int id=-1; for(int j=i;j<=n;j++) if(a[j][i]){id=j;break;} if(id==-1) return puts("No Solution"),0; std::swap(a[i],a[id]); int inv=ksm(a[i][i],mod-2); for(int j=i;j<=n<<1;j++) a[i][j]=mul(a[i][j],inv); for(int j=i+1;j<=n;j++) for(int k=n<<1;k>=i;k--) a[j][k]=add(a[j][k],mod-mul(a[i][k],a[j][i])); } /* 【原理】把原矩阵通过初等变换消成单位矩阵, 右边的单位矩阵做同样的变换,就成了逆矩阵。 */ for(int i=n;i;i--) for(int j=i-1;j;j--) for(int k=n<<1;k>=i;k--) a[j][k]=add(a[j][k],mod-mul(a[i][k],a[j][i])); for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++) printf("%d ",a[i][j+n]); puts(""); } }
洛谷P4100 [HEOI2013]钙铁锌硒维生素
#include <cmath> #include <iostream> #include <cstdio> #include <string> #include <cstring> #include <vector> #include <algorithm> #include <stack> #include <queue> #include <iomanip> using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; /*【p4100】钙铁锌 给定n个线性无关(不能用其他的加减表示)的向量A[1..n](如果不是线性无关直接输出无解即可), 另外n个向量B[1..n],求能否给A中的每一个向量选择一个B中的备用向量, 使得任意两个备用向量在B中编号不同,且A中的一个向量的备用向量和A中其余向量线性无关。*/ //【标签】二分图匹配 + 矩阵求逆 /*【分析】先对A中的每一个向量确定哪些向量可以备用,进行二分图最小字典序完美匹配。 首先可以考虑一个系数矩阵V,V[i][j]表示“B中第i个向量用A的线性组合表示时,A[j]项的系数”。 容易证明A[i]可以使用B[j]作为备用向量当且仅当Vji≠0(如果Vji=0,B[j]是A中其余向量的线性组合)。 那么Bij=∑(k=1~n)Vik*Akj,B=VA,即V=BA-1,求A矩阵的逆即可。*/ void reads(int &x){ int fx=1;x=0;char s=getchar(); while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')fx=-1;s=getchar();} while(s>='0'&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s-'0');s=getchar();} x=x*fx;//正负号 } const int mod=998244353,N=666; //mod必须是质数 //----------------矩阵求逆---------------------\ inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;} #define mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%mod) int ksm(int a,int b){int anss=1;while(b){if(b&1)anss=mul(anss,a); a=mul(a,a),b>>=1;}return anss;} //ksm用于求逆元 int a[N][N],b[N][N],V[N][N],g[N][N],n; bool Matrixinv(){ //矩阵求逆 for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i+n]=1; //右接单位矩阵 for(int i=1;i<=n;i++){ //矩阵初等变换,即高斯消元 int id=-1; for(int j=i;j<=n;j++) if(a[j][i]){id=j;break;} if(id==-1) return false; std::swap(a[i],a[id]); int inv=ksm(a[i][i],mod-2); //a[i][i]位置元素的逆元 for(int j=n<<1;j>=i;j--) a[i][j]=mul(a[i][j],inv); for(int j=i+1;j<=n;j++) for(int k=n<<1;k>=i;k--) a[j][k]=add(a[j][k],mod-mul(a[j][i],a[i][k])); }/*【原理】把原矩阵通过初等变换消成单位矩阵, 右边的单位矩阵做同样的变换,就成了逆矩阵。 */ for(int i=n;i;i--) for(int j=i-1;j;j--) for(int k=n<<1;k>=i;k--) a[j][k]=add(a[j][k],mod-mul(a[j][i],a[i][k])); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=a[i][j+n]; return true; //将逆矩阵复制回原矩阵 } //----------------二分图匹配---------------------\ int used[N],match[N],to[N],ban[N]; bool dfs(int x){ for(int i=1;i<=n;i++) if(g[x][i]&&!used[i]&&!ban[i]){ used[i]=1; if(!match[i]||dfs(match[i])) { match[i]=x,to[x]=i; return true; } } return false; } //----------------主程序---------------------\ int main(){ reads(n); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) reads(a[i][j]); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) reads(b[i][j]); if(!Matrixinv()) return puts("NIE"),0; //不是可逆矩阵,没有答案 for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) for(int k=1;k<=n;k++) //矩阵乘法,即V=B*(A^(-1)) V[i][j]=add(V[i][j],mul(b[i][k],a[k][j])); for(int i=1;i<=n;i++) //逆向记录可行性 for(int j=1;j<=n;j++) if(V[i][j]) g[j][i]=1; for(int i=1;i<=n;i++){ //二分图匹配 memset(used,0,sizeof(used)); if(!dfs(i)) return puts("NIE"),0; } puts("TAK"); int tto[N],tmatch[N]; for(int i=1;i<=n;i++){ memset(used,0,sizeof(used)); for(int j=1;j<=n;j++) //用于保存原数据 tto[j]=to[j],tmatch[j]=match[j]; int ver=to[i],flag=0; match[ver]=0; for(int j=1;j<ver;j++) if(g[i][j]&&!ban[j]&&!used[j]){ used[j]=1; if(!ban[j]&&dfs(match[j])) { to[i]=j; match[j]=i; flag=1; break; } } if(!flag) for(int j=1;j<=n;j++) //此处只能用to[i] to[j]=tto[j],match[j]=tmatch[j]; ban[to[i]]=1; } for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",to[i]); //输出方案 }
——时间划过风的轨迹,那个少年,还在等你。