【暖*墟】 #洛谷提高网课# 8.2初级数据结构（2）

【前缀和与差分】

1.前缀和求区间和

sum[]
for(int i = 1; i <= n; i++) {
    sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}
while(q--) {
    int l, r;
    scanf("%d %d", &l, &r);
    printf("%d
", sum[r] - sum[l - 1]);
}

2.差分维护区间修改求值

差分可以将【区间（或多次单点）修改，单点查询】改为【单点修改，区间查询】。

差分是前缀和的逆运算，用于记录修改的状态，不能插入元素和删除。

b[]
for(int i = 1; i <= n; i++) {
  b[i] = a[i] - a[i - 1];
}
while(q--) {
  int l, r, x;
  scanf("%d %d %d", &l, &r, &x);
  b[l] += x, b[r + 1] -= x;
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
  b[i] += b[i - 1];
}

3.分块的概念与运用

【例题1】

SOLUTION1

将查询区间分成中间整块+零散两边，此时两部分都在根号n范围。

简单来说就是大部分分块，小部分暴力。

分块时：块的大小为根号n，建立每个位置对应的块的编号。

修改时：直接修改值和相应块的值。（单点修改）

用getStart函数求出每分块的第一个。

注意写getEnd函数时，要写 min（n,getStart[k+1]-1）。

↑↑ getEnd（4）的正确答案应该是10。

• 为什么块数是根号n（或根号n+1）？
• 答：每段长为s，块数是n/s。查询区间最大为n/s+2s（零散块）。
• 数学方法可以求得，s最优为根号n，n/s=根号n。（如下图）

 

文字版理解

代码实现

c[]
int size = (int)sqrt(n);

int getBlock(int x) { // 1-based
  return (x - 1) / size + 1;
}

int getStart(int b) {
  return (b - 1) * size + 1;
}

int getEnd(int b) {
  return min(n, getStart(b + 1) - 1);
}

for(int i = 1; i <= n; i++) {
  c[getBlock(i)] += a[i];
}

while(q--) {
  int opt;
  scanf("%d", &opt);
  if(opt == 1) {
    int p, x;
    scanf("%d %d", &p, &x);
    // a[p] += x
    a[p] += x;
    c[getBlock(p)] += x;
  } else {
    int l, r;
    scanf("%d %d", &l, &r);
    if(getBlock(l) == getBlock(r)) {
      int ans = 0;
      for(int i = l; i <= r; i++) {
        ans += a[i];
      }
      printf("%d
", ans);
    } else {
      int ans = 0;
      for(int i = getBlock(l) + 1; i <= getBlock(r) - 1; i++) {
        ans += c[i];
      }
      for(int i = l; i <= getEnd(getBlock(l)); i++) {
        ans += a[i];
      }
      for(int i = getStart(getBlock(r)); i <= r; i++) {
        ans += a[i];
      }
      printf("%d
", ans);
    }
  }
}

SOLUTION2

这里不用分块的方法，是【暴力存储变化+重构数组】。

sum[]

for(int i = 1; i <= n; i++) { //预处理前缀和
      sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}

vector<pair<int, int> > modify;
int C = (int)sqrt(q);

while(q--) {
    int opt; scanf("%d", &opt);
    if(opt == 1) {
        int p, x; 
        scanf("%d %d", &p, &x); // a[p] += x
        modify.push_back(make_pair(p, x));
        if(modify.size() > C) { //到一定长度，清空数组【暴力重构法】
              for(int i = 0; i < modify.size(); i++) {
                a[modify[i].first] += modify[i].second; //某记录修改的位置
              }
              for(int i = 1; i <= n; i++) { //前缀和修改
                sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
              }
              modify.clear();
        }
      } else {
        int l, r; scanf("%d %d", &l, &r);
        int ans = sum[r] - sum[l - 1];
        for(int i = 0; i < modify.size(); i++) //等到询问时，再一起修改变化的值
              if(modify[i].first >= l && modify[i].first <= r)
                ans += modify[i].second;
        printf("%d
", ans);
      }
}

pair中：修改位置和修改值，用来记录修改。

【重构】是防止modify很大而维护的定长，C=根号n。

【例题2】

SOLUTION

区间加想到差分，转化为单点修改+区间求和，区间和想到分块。

4.二维前缀和

(1) 求二维前缀和 ---- 容斥原理

sum[][]

//方法一
for(int i = 1; i <= n; i++) {
  for(int j = 1; j <= m; j++) {
    sum[i][j] = a[i][j] + sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1];
  }
}

//方法二（更优）
for(int i = 1; i <= n; i++) {
  for(int j = 1; j <= m; j++) {
    sum[i][j] = a[i][j];
  }
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
  for(int j = 1; j <= m; j++) {
    sum[i][j] += sum[i - 1][j];
  } //sum[i-1][j]中没有加sum[i-1][j-1]，相当于剪掉
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
  for(int j = 1; j <= m; j++) {
    sum[i][j] += sum[i][j - 1];
  }
}

(2)二维前缀和表示二维区间

下方图示为，求紫色块：

int query(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return sum[x2][y2] - sum[x1 - 1][y2] - sum[x2][y1 - 1] + sum[x1 - 1][y1 - 1];
}

【例题3】（单点修改+二维区间查询）

SOLUTION

分块·法2【暴力存储变化+重构数组】+二维前缀和。

 这里的C要取根号n*m，解释如下。

 vector数组记录修改，pair<a,b>为点序，c为点的价值。

sum[][]
vector<pair<pair<int, int>, int> > modify;

int query(int x1, int y1, int x2, int y2) {
  return sum[x2][y2] - sum[x1 - 1][y2] - sum[x2][y1 - 1] + sum[x1 - 1][y1 - 1];
}

for(int i = 1; i <= n; i++) {
  for(int j = 1; j <= m; j++) {
    sum[i][j] = a[i][j] + sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1];
  }
}

int C = (int)sqrt(n * m);

while(q--) {
  int opt;
  scanf("%d", &opt);
  if(opt == 1) {
    int x1, y1, x2, y2;
    scanf("%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2);
    int ans = query(x1, y1, x2, y2);
    for(int i = 0; i < modify.size(); i++) {
      int curX = modify[i].first.first;
      int curY = modify[i].first.second;
      if(curX >= x1 && curX <= x2 && curY >= y1 && curY <= y2) {
        ans += modify[i].second;
      }
    }
  } else {
    int x, y, z;
    scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
    modify.push_back(make_pair(make_pair(x, y), z));
    if(modify.size() > C) {
      for(int i = 0; i < modify.size(); i++) {
        int curX = modify[i].first.first;
        int curY = modify[i].first.second;
        a[curX][curY] += modify[i].second;
      }
      for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
          sum[i][j] = a[i][j] + sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1];
        }
      }
      modify.clear();
    }
  }
}

【例题4】（区间修改+二维单点查询）

 

SOLUTION

↑↑ 第四行应该改成a数组的修改。

图示：差分的区间修改记录（差分数组就是矩形前缀和数组）

 

b[][]
for(int i = 1; i <= n; i++) {
  for(int j = 1; j <= m; j++) {
    b[i][j] = a[i][j] + a[i - 1][j - 1] - a[i - 1][j] - a[i][j - 1];
  }
}

【树状数组】知识点

1.定义

int lowbit(int x) {
  return x & -x;
}

c[]
for(int i = 1; i <= n; i++) {
  for(int j = i - lowbit(i) + 1; j <= i; j++) {
    c[i] += a[j];
  }
}
int sum(int x) {
  if(x < 1) return 0;
  int ans = c[x];
  return ans + sum(x - lowbit(x));
}

2.性质

 【例题5】（树状数组模板题）

SOLUTION

【例题6】（树状数组模板题）

 SOLUTION