求组合数

方案一：打表

c(n , m) = c(n-1 , m)+c(n-1 , m-1)  适用范围n<=1000;

方案二：质因数分解  没有用过  谢大佬模板

https://segmentfault.com/a/1190000005072018

代码量有点大  不推崇  时间复杂度 1是大约可以进行1e7的计算

//用筛法生成素数
const int MAXN = 1000000;
bool arr[MAXN+1] = {false};
vector<int> produce_prim_number()
{
    vector<int> prim;
    prim.push_back(2);
    int i,j;
    for(i=3; i*i<=MAXN; i+=2)
    {
        if(!arr[i])
        {
            prim.push_back(i);
            for(j=i*i; j<=MAXN; j+=i)
                arr[j] = true;
        }
    }
    while(i<=MAXN)
    {
        if(!arr[i])
            prim.push_back(i);
        i+=2;
    }
    return prim;
}

//计算n!中素因子p的指数
int Cal(int x, int p)
{
    int ans = 0;
    long long rec = p;
    while(x>=rec)
    {
        ans += x/rec;
        rec *= p;
    }
    return ans;
}

//计算n的k次方对M取模，二分法
int Pow(long long n, int k, int M)
{
    long long ans = 1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
        {
            ans = (ans * n) % M;
        }
        n = (n * n) % M;
        k >>= 1;
    }
    return ans;
}

//计算C(n,m)
int Combination(int n, int m)
{
    const int M = 10007;
    vector<int> prim = produce_prim_number();
    long long ans = 1;
    int num;
    for(int i=0; i<prim.size() && prim[i]<=n; ++i)
    {
        num = Cal(n, prim[i]) - Cal(m, prim[i]) - Cal(n-m, prim[i]);
        ans = (ans * Pow(prim[i], num, M)) % M;
    }
    return ans;
}

方案三：lucas定理

lucas适用于 n , m可以很大 但是取余的数字mod不可以大于1e5

代码如下

long long mod_pow(int a,int n,int p)
{
    long long ret=1;
    long long A=a;
    while(n)
    {
        if (n & 1)
            ret=(ret*A)%p;
        A=(A*A)%p;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
 
long long factorial[N];
 
void init(long long p)
{
    factorial[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= p;i++)
        factorial[i] = factorial[i-1]*i%p;
    //for(int i = 0;i < p;i++)
        //ni[i] = mod_pow(factorial[i],p-2,p);
}
 
long long Lucas(long long a,long long k,long long p) //求C(n,m)%p p最大为10^5。a,b可以很大！
{
    long long re = 1;
    while(a && k)
    {
        long long aa = a%p;long long bb = k%p;
        if(aa < bb) return 0; //这个是最后的改动！
        re = re*factorial[aa]*mod_pow(factorial[bb]*factorial[aa-bb]%p,p-2,p)%p;//这儿的求逆不可先处理
        a /= p;
        k /= p;
    }
    return re;
}
 

方案四：扩展欧几里得

代码如下：

LL fac[MAXL+50];//求阶乘
void inite()
{
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(LL i=2; i<=MAXL; i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
}
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}
LL niYuan(LL a, LL b)
{
    LL x, y;
    exgcd(a, b, x, y);
    return (x + b) % b;
}
LL C(LL a, LL b)
{
    return fac[a]*niYuan(fac[b],mod)%mod*niYuan(fac[a-b],mod)%mod;
}

ps: 扩展欧几里得是一个递进的过程  首先可以求得方程的解之后可以递推到求逆元，再进一步可以推到求组合数