Computer Graphics note(1):变换
Games101清新脱俗，可惜没赶上直播。
官网：http://games-cn.org/intro-graphics/
结合食用：Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) or (2nd Edition)
一.2D变换
对于能写成(X^{'}=MX)形式的变换，称为线性变换(Linear Transforms)，其中(M)为变换矩阵。
1.Scale(缩放)
基本的缩放就是沿着坐标轴进行的缩放，而对于xy轴任意比例缩放(s_x,s_y)而言，其数学形式如下：
[egin{cases}
x'=s_x*x \
y'=s_y*y
end{cases}
]
转换为矩阵形式(((x,y)^T)左边的矩阵为变换矩阵)如下：
[egin{bmatrix}
x' \
y'
end{bmatrix}
=egin{bmatrix}
s_x & 0\
0 & s_y
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x \
y
end{bmatrix}
]
例如下图为沿着xy轴都缩放0.5：
水平镜像也属于缩放操作，即(s_x=-1,s_y=1),其矩阵表示如下：
[egin{bmatrix}
x' \
y'
end{bmatrix}=
egin{bmatrix}
-1 & 0 \
0 & 1
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x \
y
end{bmatrix}
]
2.Shear(切变)
切变只变化一边，如下图所示：
可见，上面是变化了x轴，其矩阵形式如下：
[egin{bmatrix}
x' \
y'
end{bmatrix}=
egin{bmatrix}
1 & a \
0 & 1
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x \
y
end{bmatrix}
]
同理，对于变化y轴，其矩阵形式如下：
[egin{bmatrix}
x' \
y'
end{bmatrix}=
egin{bmatrix}
1 & 0 \
a & 1
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x \
y
end{bmatrix}
]
3.Rotate(旋转)
对于旋转而言，前提是默认绕原点旋转，方向为逆时针，旋转角为弧度制。(x)轴转转向(y)轴。
对于一个向量(a),其与(x)轴夹角为(α)假设要将其旋转角度(φ)得到向量(b),如下图所示(图来源:Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) 6.1.3Rotation)：
其旋转矩阵如下：
[R(φ)
egin{bmatrix}
cosφ & -sinφ \
sinφ & cosφ
end{bmatrix}
]
推导过程1如下（来自Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) 6.1.3Rotation）：
假设向量(a)的长度为(r),则有
[egin{cases}
x_a=rcosα \
y_a=rsinα
end{cases}
]
而(b)是(a)旋转得到的，所以长度相同，而其旋转角度为((α+φ)),则有
[egin{cases}
x_b=rcos(α+φ)=rcosαcosφ - rsinαsinφ \
y_b=rsin(α+φ)=rsinαcosφ + rcosαsinφ
end{cases}
]
将上面的式子带入下面的式子可以得到如下结果：
[egin{cases}
x_b=x_acosφ - y_asinφ \
y_b=y_acosφ + x_asinφ
end{cases}
]
所以最终的旋转矩阵如下：
[R(φ)
egin{bmatrix}
cosφ & -sinφ \
sinφ & cosφ
end{bmatrix}
]
推导过程2(课程提及，辅助理解记忆)如下
考虑旋转矩阵对于任意点都适用，所以考虑几个特殊点的转换：((1,0)->(cosθ,sinθ)，(0,1)->(cosθ,-sinθ))。所以有下列关系:
[egin{cases}
egin{bmatrix}
cosθ \
sinθ
end{bmatrix}
=egin{bmatrix}
A & B\
C & D
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
1 \
0
end{bmatrix} \\
egin{bmatrix}
-sinθ \
cosθ
end{bmatrix}
=egin{bmatrix}
A & B\
C & D
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
0 \
1
end{bmatrix}
end{cases}
]
从中可以得到如下结果,即为所求:
[egin{cases}
A = cosθ \
C = sinθ \
B = -sinθ \
D = cosθ \
end{cases}
]
旋转矩阵的性质
考虑旋转(R(-φ)),会发现等于(R_φ^T),如下所示:
[R(-φ)
egin{bmatrix}
cosφ & -sinφ \
sinφ & cosφ
end{bmatrix}
=R_φ^T
]
而从定义上看，(R(-φ))=(R_φ^{-1})，所以可以得到(R_φ^{-1})=(R_φ^T)，即旋转矩阵的逆等于其转置矩阵，也就是说旋转矩阵为正交矩阵(数学意义)。
4.Translation(平移) & 齐次坐标
对于平移而言，即使考虑只有平移的情况，我们也只能写成如下形式：
对于平移:
[egin{cases}
x'= x + t_x \
y'= y + t_y
end{cases}
]
其矩阵形式如下：
[egin{bmatrix}
x' \
y'
end{bmatrix}
=egin{bmatrix}
1 & 0 \
0 & 1
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x \
y
end{bmatrix}+
egin{bmatrix}
t_x \
t_y
end{bmatrix}
]
为了让平移和上面的线性转换统一，引入齐次坐标。对于2D变换，增加一个维度(w)，此时规定点和向量的齐次坐标表示如下：
[point=(x,y,1)^T \
vector=(x,y,0)^T
]
即对于齐次坐标而言，((x,y,w)^T(w!=0))表示的点即为((frac{x}{w},frac{y}{w},1)^T)。
则对于平移而言，其矩阵形式表示变为：
[egin{bmatrix}
x'\
y' \
w'
end{bmatrix}
=egin{bmatrix}
1 & 0 & t_x \
0 & 1 & t_y \
0 & 0 & 1 \
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x \
y \
1
end{bmatrix}
=egin{bmatrix}
x+t_x \
y+t_y \
1
end{bmatrix}
]
这样一来形式就得到统一，并且使用齐次坐标还能保证以下操作的正确性：
[vector +vector=vector; \
point - point =vector;\
point +vector =point;\
]
而对于(point+point)原本是无意义的，但是在齐次坐标下也能引申出其他意义，即两点相加为其中点，推导过程如下：
[egin{pmatrix}x_1 \ y_1 \ 1end{pmatrix}
+egin{pmatrix}x_2 \y_2\1 end{pmatrix}
=egin{pmatrix} x_1+x_2 \y_1+y_2 \ 2 end{pmatrix}
=egin{pmatrix}frac{x_1+x_2}{2} \ frac{y_1+y_2}{2} \ 1 end{pmatrix}
]
仿射变换 = 线性变换 +平移，即为
[egin{bmatrix}x' \y'end{bmatrix} =
egin{bmatrix}a&b \c&dend{bmatrix}
egin{bmatrix}x \yend{bmatrix}
+
egin{bmatrix}t_x \t_yend{bmatrix}
]
使用齐次坐标表示如下：
[egin{bmatrix}x' \y' \ 1end{bmatrix} =
egin{bmatrix}a&b& t_x \
c&d& t_y \
0& 0& 1end{bmatrix}
egin{bmatrix}x \y \1end{bmatrix}
]
上面两者是等价的，所以仿射变换是先进行线性变换然后再进行的平移。
1.变换矩阵的结构性质
值得一提的是，当表示的是2D仿射变换的时候，上面的变换矩阵才有如下性质：
- 最后一行为(0 0 1)
- 最后一列的头两个数(t_x,t_y)必然表示平移
- 左上角四个数(egin{pmatrix}a&b \ c & dend{pmatrix})表示线性变换
2.齐次坐标下的变换矩阵
Scale:
[S(S_x,S_y)=
egin{bmatrix}
s_x & 0 & 0\
0 & s_y & 0 \
0&0&1
end{bmatrix}
]
Rotation:
[R(φ)=
egin{bmatrix}
cosφ & -sinφ & 0\
sinφ & cosφ & 0\
0 & 0& 1
end{bmatrix}
]
Translation:
[T(t_x,t_y)=
egin{bmatrix}
1 & 0 & t_x \
0 & 1 & t_y \
0 & 0 & 1 \
end{bmatrix}
]
三.其他变换
逆变换即为原变换的相反操作，逆变换对应的变换矩阵即在数学意义上的逆矩阵，如下图中(M^{-1})即为逆变换对应的变换矩阵，且逆矩阵有个基本性质,即(MM^{-1}=I),其中(I)为单位矩阵。
以下图为例子，假如想要从左边变换到右边的话，可以考虑的方式有先旋转再平移，或者先平移再旋转。
两种方式结果如下：
很明显，需要先旋转再平移，上面的变换过程用矩阵表示如下：
[T_{1,0}·R_{45} egin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix}
=egin{bmatrix}
1 & 0& 1\
0 &1&0 \
0&0&1
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
cos45 & -sin45 & 0 \
sin45 & cos45 & 0 \
0 & 0& 1
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x \y\1
end{bmatrix}
]
结论
- 以变换的顺序很重要，顺序不同结果也就不同。
- .变换矩阵应用的顺序是从右到左的。
上述结论可以推广，即当有(N)个变换矩阵(A_1~A_n)应用时，也是从右到左进行应用，同时因为矩阵满足结合律，所以我们可以先将前面的所有变换矩阵相乘((A_r=A_n···A_2A_1))，然后再应用，结果是不变的。如下：
[A_n···A_2A_1egin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix} = A_regin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix}
]
值得一提的是由于矩阵都是(3X3),所以即使前面的相乘，得到的矩阵(A_r)仍然是(3X3),也就是说一个矩阵也可以表示极为复杂的变换。
同时考虑仿射变换的性质，上面先旋转再平移也可以写成如下形式,结果不变:
[T_{1,0}·R_{45} egin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix}
=egin{bmatrix}
cos45 & -sin45 & 1 \
sin45 & cos45 & 0 \
0 & 0& 1
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x \y\1
end{bmatrix}
]
变换的分解有多种多样，有时候不能一次性写出旋转矩阵，就可以将其分解，逐步应用变换矩阵来达到同样的效果。
例如考虑绕任意点(c)进行旋转，可以先将旋转中心移动到原点进行旋转之后再将旋转中心移动到(c)点。如下图所示:
其矩阵表示如下,应用过程从右到左：
(T(c)·R(α)·T(-c))
四.3D变换
1.前提(右手系)
以下变换考虑的都是右手系(参考右手螺旋定则，四指弯曲方向为(x)旋转到(y)方向，大拇指方向为(z)方向)。
2.齐次坐标表示
类比2D中引入齐次坐标的原因,3D中的平移也不能直接写成，所以对于3D变换，增加一个维度(w)，此时规定点和向量的齐次坐标表示如下：
[point=(x,y,z,1)^T \
vector=(x,y,z,0)^T
]
同样的有对于齐次坐标而言，((x,y,z,w)^T(w!=0))表示的点即为((frac{x}{w},frac{y}{w},frac{z}{w},1)^T)。
矩阵描述3D中的仿射变换如下：
[egin{bmatrix}x' \y' \ z'\1end{bmatrix} =
egin{bmatrix}a&b&c& t_x \
d&e&f& t_y \
g&h&i& t_z \
0& 0& 0&1end{bmatrix}
egin{bmatrix}x \y \z\1end{bmatrix}
]
3.变换矩阵的结构性质
和2D中一样，当表示的是3D仿射变换的时候，上面的变换矩阵才有如下性质：
- 最后一行为(0 0 01)
- 最后一列的头两个数(t_x,t_y，t_z)必然表示平移
- 左上角9个数(egin{pmatrix}a&b&c \ d&e&f \ g&h&i end{pmatrix})表示线性变换
4.齐次坐标下的变换矩阵
3D下和2D下的缩放和平移类似，但是旋转有些不同，
Scale:
[S(S_x,S_y)=
egin{bmatrix}
s_x & 0 & 0 &0\
0 & s_y & 0 &0\
0&0&s_z&0\
0&0&0&1
end{bmatrix}
]
Translation:
[T(t_x,t_y)=
egin{bmatrix}
1 & 0 & 0&t_x \
0 & 1 &0& t_y \
0&0&1&t_z\
0 & 0 & 0&1 \
end{bmatrix}
]
Rotation
先考虑只绕一轴进行旋转的情况(绕谁谁不变)，如下:
[R_x(α)=egin{bmatrix}
1 & 0 & 0& 0\
0&cosα & -sinα & 0\
0&sinα & cosα & 0\
0&0&0&1
end{bmatrix}\
R_y(α)=egin{bmatrix}
cosα & 0&sinα & 0\
0&1&0&0\
-sinα &0& cosα & 0\
0&0&0&1
end{bmatrix}\
R_z(α)=egin{bmatrix}
cosα & -sinα & 0&0\
sinα & cosα & 0&0\
0&0&1&0\
0&0&0&1
end{bmatrix}\
]
这里绕着(y)轴有所不同，这是因为我们使用的右手系，旋转方向默认逆时针的情况下，绕(y)轴，是(z)转向(x)方向，而矩阵定义的旋转顺序为(xyz),即为(x)->(y),(y)->(z),(x)->(z)。
接下来简单总结一下一般情况绕任意轴下的3D旋转。
普通的3D旋转可以将其分解到绕(xyz)旋转，然后推导其公式((Rodrigues' Rotation Formula))如下,其中(pmb{n})为旋转轴，(α)为旋转角，(I)为单位矩阵，这里默认沿着(pmb{n})旋转时，该轴是过原点的：
[R(pmb{n},α)=cos(α)pmb{I}+(1-cos(α))pmb{n}pmb{n}^T+sin(α)
egin{pmatrix}0 &-n_z&n_y\
n_z&0&-n_z\
-n_y&n_x&0end{pmatrix}
]
最右边的是向量叉积的矩阵形式。推导略。