codeforces 514E-Darth Vader and Tree

题意：有个无限大的有根树,每个节点都有N个孩子,每个孩子距离父亲节点的距离为di.求距离根节点距离<=x的节点个数.

思路：注意观察数据范围，每一个d[i]均小于等于100所以我们可以设dp[i]表示距离原点i的点的个数，sum[i]表示总和，最后求sum[x]即可。

状态转移方程

for(int i=1;i<=100;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            dp[i]=(dp[i]+dp[i-j]*cnt[j])%MOD;
        }
        sum[i]=(sum[i-1]+dp[i])%MOD;
    }

但是因为x太大，而且dp[n+1]是每个dp[i]*cnt[n+1-i]，令N=100，保存n+1前100个数，并用第101列更新sum，用矩阵快速幂求解即可。（C是单位矩阵！！！）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MOD=(ll)1e9+7;

struct matrix
{
    ll x,y;
    ll a[112][112];
    matrix(){
    };
    matrix(ll xx,ll yy):x(xx),y(yy)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
}Base;

matrix mul (matrix A,matrix B)
{
    matrix C(A.x,B.y);
    for(int i=1;i<=A.x;i++)
    {
        for(int j=1;j<=B.y;j++)
        {
            for(int k=1;k<=B.x;k++)
            {
                C.a[i][j]=(C.a[i][j]+A.a[i][k]*B.a[k][j])%MOD;
            }
        }
    }
    return C;
}

ll n,x,cnt[120],sum[120],dp[120];
void init()
{
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    scanf("%lld%lld",&n,&x);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int p;
        scanf("%d",&p);
        cnt[p]++;
    }
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    dp[0]=1; sum[0]=1;
    for(int i=1;i<=100;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            dp[i]=(dp[i]+dp[i-j]*cnt[j])%MOD;
        }
        sum[i]=(sum[i-1]+dp[i])%MOD;
    }
    
    Base.x=101; Base.y=101;
    //123...97 98 99  100 101(ans)
    
    //000...000 len[100] len[100]
    //100...000 len[99] len[99]
    //010...000 len[98] len[98]
    //.........................
    //000...001 len[1] len[1]
    //000...000 0        1
    for(int i=1;i<=99;i++)
    {
        Base.a[i+1][i]=1;
        Base.a[i][100]=cnt[101-i];
        Base.a[i][101]=cnt[101-i];
    }
    Base.a[100][100]=Base.a[100][101]=cnt[1];
    Base.a[101][101]=1;
}

matrix qpow (matrix Base,ll b)
{
    matrix C(Base.x,Base.y);
    for(int i=1;i<=101;i++) C.a[i][i]=1;//danweijuzhen
    while(b)
    {
        if(b%2==1) C=mul(C,Base);
        b/=2;
        Base=mul(Base,Base);
    }
    return C;
}

int main()
{
    init();
    matrix A(1,101);
    for(int i=1;i<=100;i++) A.a[1][i]=dp[i];
    A.a[1][101]=sum[100];
    if(x<=100)
    {
        printf("%lld
",sum[x]);
        return 0;
    }
    A=mul(A,qpow(Base,x-100));
    printf("%lld
",A.a[1][101]%MOD);
    return 0;
}