（模板）hdoj2544（最短路--bellman-ford算法&&spfa算法）

题目链接：https://vjudge.net/problem/HDU-2544

题意：给n个点，m条边，求点1到点n的最短路。

思路：

　　今天学了下bellman_ford，抄抄模板。dijkstra算法和该算法都是单源最短路径算法，但是dij不能适用含负权边的图。而bellman-ford算法适用于负权边，原理是进行n-1次松弛操作，每次都要对m条边进行松弛，所以算法复杂度是O(mn)，比dijkstra要高。如果n-1次操作之后还能进行松弛，说明存在负环。

AC code：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn=105;
const int maxm=10005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,dis[maxn],cnt,loop;

struct node{
    int u,v,w;
}edge[maxm<<1];

void adde(int u,int v,int w){
    edge[++cnt].v=v;
    edge[cnt].u=u;
    edge[cnt].w=w;
}

void bellman_ford(int s){
    for(int i=1;i<=n;++i)
        dis[i]=inf;
    dis[s]=0;
    //n-1次松弛    
    for(int i=1;i<n;++i){
        bool ok=0;
        for(int j=1;j<=cnt;++j){
            int u=edge[j].u,v=edge[j].v,w=edge[j].w;
            if(dis[v]>dis[u]+w){
                dis[v]=dis[u]+w;
                ok=1;
            }
        }
        if(!ok) break;
    }
    //loop=1说明存在负环
    for(int i=1;i<=cnt;++i){
        int u=edge[i].u,v=edge[i].v,w=edge[i].w;
        if(dis[v]>dis[u]+w){
            loop=1;
            break;
        }
    }
}

int main(){
    while(scanf("%d%d",&n,&m),n||m){
        cnt=0,loop=0;
        for(int i=1;i<=m;++i){
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            adde(u,v,w);
            adde(v,u,w);
        }
        bellman_ford(1);
        printf("%d
",dis[n]);
    }
    return 0;
}

思路2：

spfa是bellman-ford的队列优化版本，使用条件一样，vis标记该点是否在队列中，被更新的结点如果不在队列中要重新入队。也可以用来求是否存在负环，用updcnt数组记录每个结点更新次数，如果==n说明更新了n次，即存在负环。

然后说一下spfa的时间复杂度是O(km),k为常数，但最坏情况是O(mn)，比较毒瘤，慎用！

下面的代码是luoguP3385，判负环。

AC code：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;

const int maxn=2005;
const int maxm=6005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int T,n,m,head[maxn],vis[maxn],cnt,upd[maxn],dis[maxn];

struct node{
    int v,w,nex;
}edge[maxm];

void adde(int u,int v,int w){
    edge[++cnt].v=v;
    edge[cnt].w=w;
    edge[cnt].nex=head[u];
    head[u]=cnt;
}

bool spfa(){
    for(int i=1;i<=n;++i)
        vis[i]=0,upd[i]=0,dis[i]=inf;
    queue<int> que;
    que.push(1);
    vis[1]=1,dis[1]=0,++upd[1];
    while(!que.empty()){
        int u=que.front();que.pop();
        vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i;i=edge[i].nex){
            int v=edge[i].v,w=edge[i].w;
            if(dis[v]>dis[u]+w){
                dis[v]=dis[u]+w;
                if(!vis[v]){
                    ++upd[v];
                    if(upd[v]>n) return true;
                    vis[v]=1;
                    que.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            head[i]=0;
        cnt=0;
        for(int i=1;i<=m;++i){
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            if(w<0){
                adde(u,v,w);
            }
            else{
                adde(u,v,w);
                adde(v,u,w);
            }
        }
        if(spfa()) printf("YE5
");
        else printf("N0
");
    }
    return 0;
}

　　拓展：

　　bellman-ford算法还能用来求最长路或者是判断正环，只用改下松弛条件即可。改变dis数组的定义为从源点到其它结点最长路径的长度，初始化为0，松弛时，如果dis[v]<dis[u]+w，则更新，其它操作一样。入poj1860。

AC code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int maxn=205;
int n,m,s,head[maxn],vis[maxn],upd[maxn],cnt;
double V,dis[maxn];

struct node{
    int v,nex;
    double r,c;
}edge[maxn<<1];

void adde(int u,int v,double r,double c){    
    edge[++cnt].v=v;
    edge[cnt].r=r;
    edge[cnt].c=c;
    edge[cnt].nex=head[u];
    head[u]=cnt;
}

bool spfa(int s,double V){
    for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=0,vis[i]=0,upd[i]=0;
    dis[s]=V,vis[s]=1;
    queue<int> que;
    que.push(s);
    ++upd[s];
    while(!que.empty()){
        int u=que.front();que.pop();
        vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i;i=edge[i].nex){
            int v=edge[i].v;
            double r=edge[i].r,c=edge[i].c;
            if(dis[v]<(dis[u]-c)*r){
                dis[v]=(dis[u]-c)*r;
                if(!vis[v]){
                    ++upd[v];
                    if(upd[v]>n) return true;
                    que.push(v);
                    vis[v]=1;
                }
            }
        }
    }
    if(dis[s]>V) return true;
    return false;
}

int main(){
    scanf("%d%d%d%lf",&n,&m,&s,&V);
    for(int i=1;i<=n;++i) head[i]=0;
    cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u,v;
        double ruv,cuv,rvu,cvu;
        scanf("%d%d%lf%lf%lf%lf",&u,&v,&ruv,&cuv,&rvu,&cvu);
        adde(u,v,ruv,cuv);
        adde(v,u,rvu,cvu);
    }
    if(spfa(s,V)) printf("YES
");
    else printf("NO
");
    return 0;
}