qbxtday1笔记

莫大的悲哀啊！

你们不要看 LuoGu 的题目评价哦，那没意思，这算个啥题。（紫题。。。）

刘关羽同学。。。

弹弹弹弹弹弹弹弹弹弹弹弹。。。。弹走那些不好的东西

怎么捣鼓捣鼓呢？en？怎么捣鼓？

我再 \(cong\) 新讲一遍。。。

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DP

状态

定义

• 需要有状态表示和最优值（方案值）

• 表示当前子问题的解的局部

条件

• 具有最优化子结构

• 具有简洁性

• 同时能够全面的描述一个局面

转移

通过已经计算出的子结构向更全面或更优的子结构求解。

时间复杂度

• 一般简单DP时间复杂度 = 状态数 \(\times\) 转移复杂度。

• 两种DP优化方式

  • 减少方案维数

  +加速状态转移

例题

1.最长上升子序列

2.P1091 合唱队形

左边最大上升子序列长度，右边最大下降子序列长度。

最后总长度减去左减去右。

设

\(f[i]\) 表示以 \(i\) 结尾的最长上升子序列

\(g[i]\) 表示以 \(i\) 开头的最长下降子序列

枚举哪个 \(i\) 使 \(f[i] + g[i]\)最大。

3.乘积最大

设有一个长度为 \(n\) 的字符串，要求用 \(k\) 个乘号将其分成 \(k+1\) 个部分，使之乘积最大。

\[f[i][j]=max\{f[k][j-1] \times a[(k+1)-i]\}\\k>j\\j<k<i \]

复杂度 \(O(n^3)\)

4.最长公共子序列

给定两个字符串 \(s\) 和 \(t\)，长度为 \(n\) 和 \(m\) ，求解这两个字符串的最长公共子序列。

分情况：

• 如果 \(s[i]==t[j]\),

  \[f[i][j]=f[i][j-1]+1 \]

• 如果 \(s[i]!=t[j]\),

  \[f[i][j]=max\{f[i-1][j],f[i][j-1]\} \]

最后答案 \(f[n][m]\)

5.最长公共上升子序列--分析性质优化状态转移

CF10D LCIS

设
\(f[i][j]\)
表示A前 i 个位置 和B前 j 个位置能产生的最长公共子序列的长度。

若是 A[i]!=B[i]，则对应函数值为0；

\[f[k]=max\{f[1...i -1][k]\} \]

记忆化搜索

定义

搜索时第一次调用把答案记录下来，之后调用的时候不重新算，直接返回之前已经计算完成的结果。

瞎搞

例题

1.网格图路径计数问题

2.滑雪

P1434 [SHOI2002]滑雪

二维矩阵，求最长连续下降路径。

\(f[i][j]\) 存储当前位置下山的最大长度，它等于它旁边（上下左右）比它矮的 f 值 + 1

BZOJ4562 食物链

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向无环图，求其中多少条极长路径。

• 拓扑图经典题

设
\(f[u]\) 为u节点为终点的食物链数量

\[f[u]= \sum _{{v,u }∈E}f[u] \]

拓扑DAG

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1.bzoj1003

区间序列 区间DP

2.bzoj1296

P4158 [SCOI2009]粉刷匠

• 如果只有一条木板，那么g[i][j]表示前 i 个格子刷 j 次的最多正确格子。

  \[g[i][j] = max \{ g[k][j-1] + w(k+1,i) \} \]
  \[g[i][j][o] = max \{ g[i-1][j-1][1] + (o==color[i] ? 1 : 0) , g[i-1][j][o] + (o==color[i] ? 1 : 0) \} \]

  \(w(x,y)\) 为第 x 到 第 y 个格子的最多同色格子数，哪个颜色出现的多刷那个，直接记一个前缀即可。

括号序列模型及解法

CF314E

给定一个长度为 \(n\) 的仅包含 \((\) 和 \(?\) 的字符串,将问号变成左括号或右括号使得该括号序列合法化,求方案总数。

往往把左括号看成 \(+1\) ,右括号看成 \(-1\) 。

我们只需要保证任何一个前缀序列大于等于 \(0\) ，且总和为 \(0\) ，就代表这个括号是合法序列。

令 \(f[i][j]\) 表示当前第 \(i\) 个字符，现在还有 \(j\) 个左括号。

分三种情况考虑。

。。。

BZOJ4922

给出一些括号序列,要求选择一些括号序列拼接成一个合法的括号序列,使得总长最大。

设 \(f[i][j]\) 为前 i 个括号序列 -1 和 1 的和 j 个时选出括号序列最长时的长度和。

BZOJ3709

[PA2014]Bohater

一套有趣的题目

1.栈

P1044 [NOIP2003 普及组] 栈

• 卡特兰数

• 排列组合

2.一道经典题

有 \(n\) 个数，选择其中若干数，使得每连续 \(k\) 个数中都至少有一个数被选中，且选出的数的和最小。

• 小范围（ \(O(n^2)\) ）：

  \[f[i] = min \{ f[j] + a[i] \} \]

• 优化：

  单调队列优化

  \[f[i] = min \{ f[j] \} + a[i] \]

  核心：

  及时弹出队列中对答案贡献一定不如 \(i\) 的元素

合并石子

P5569 [SDOI2008]石子合并

P1880 [NOI1995] 石子合并

CF245H

POJ3280

给定长为 \(m\) 的字符串，其中有 \(n\) 种字符，每种字符都有两个值，分别是插入这个字符的代价，删除这个字符的代价，求将原先给出的那串字符变成一个回文串的最小代价。

设

\(f[i][j]\) 表示区间 \([l,r]\) 有多少回文子串

转移：

\[f[i][j] = f[i][j-1] + f[i+1][j] - f[i+1][j-1] + ([i,j]是否是回文串) \]

环形问题

断环为链

能量项链

P1063 [NOIP2006 提高组] 能量项链

设

\(f[i][j]\)

\[f[i][j] = max \{f[i][i+k] , f[i][j]+f[j+1][i+k]+head[i] \times tail[j] \times tail[i+k] \]

区间DP两类主要的转移套路