『笔记』组合数学（六）

[Huge{（六）组合数学初步} ]

简介

组合数学（Combinatorial mathematics），又称为离散数学。

广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是离散数学除图论、代数结构、数理逻辑等的部分。

总之，组合数学是一门研究离散对象的数学科学。

排列组合

排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

加法 & 乘法原理

加法原理

对于一件一定可以完成的事情，完成它有 (n) 类方式，第一类方式有 (M_1) 种方法，第二类方式有 (M_2) 种方法，(cdots) ，第 (n) 类方式有 (M_n) 种方法，那么完成这件事情共有 (M_1 + M_2 + cdots + M_n) 种方法。

例如说，你要去 AK IOI 啦！ 某场比赛分为若干类分赛， AK 总赛的条件是 AK 任意一类分赛，而每类分赛都有许多种 AK 的方法，则你能够 AK IOI 的方法数量就是 AK 各类分赛的方法数量之和。

加法原理又可以写作

[S = sum_{i=1}^{n} a_i ]

其中 (S) 表示完成这项工作总的方案数， (a_i) 表示每种方案的数量。

乘法原理

对于一件一定可以完成的事情，完成它共需 (n) 步，第一步共有 (M_1) 种方法，第二步共有 (M_2) 种方法， (cdots) ，第 (n) 步共有 (M_n) 种方法，那么完成这件事共有 (M_1 imes M_2 imes cdots imes M_n) 种方法。

又例如说，你还要去 AK IOI 又有某场比赛分为若干类分赛， 而这次 AK 总赛的条件是 AK 所有分赛，而每类分赛都有若干种 AK 的方法，则你能够 AK IOI 的方法数量就是 AK 每类分赛的数量之积。

乘法原理又可以写作

[S = prod_{i=1}^{n} a_i ]

其中 (S) 表示完成这项工作总的方案数， (a_i) 表示每种方案的数量。

排列数

从 (n) 个不同元素中，任取 (m ( m leq n, m) 与 (n) 均为自然数 ()) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的一个排列；从 (n) 个不同元素中取出 (m(m leq n)) 个 元素的所有排列的个数，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的排列数，记作 (A_{n}^{m})（或者是 (P _{n}^{m})）。

排列和组合是基于加法原理和乘法原理得出。

排列的计算公式为

[A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2) cdots (n-m+1) = cfrac{n !}{(n-m) !} ]

其中

(A)	排列数
(n)	元素的总数
(m)	选择的元素数
(n!)	(n) 的阶乘

注：

1. 上式中当 (n=m) 时所有的排列情况叫做 全排列 。

2. 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。

组合数

从 (n) 个不同元素中，任取 (m(m leq n)) 个元素组成一个集合，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的一个组合; 从 (n) 个不同元素中取出 (m(m leq n)) 个元素的所有组合的个数，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的组合数，记作 (C _{n}^{m}) 或 (left(egin{array}{l}n \ mend{array} ight)) （目前数学界普遍采用后者的原因知识由于它表意更清晰，更美观便捷。

组合的计算公式为

[C _{n}^{m} = left(egin{array}{l}n \ mend{array} ight) =cfrac{ A _{n}^{m}}{m !}=cfrac{n !}{m !(n-m) !} ]

其中

(C)	组合数
(n)	元素的总数
(m)	选择的元素数
(n!,m!)	(n,m) 的阶乘

二项式定理

组合数也被称为 二项式系数 ，是定义为形如 ((1 + x)^n) 展开后 (x) 的系数（其中 (n) 为自然数，(k) 为整数）。

展开式

[(a+b)^{n}=sum_{i=0}^{n}left(egin{array}{l} n \ i end{array} ight) a^{n-i} b^{i} ]

由归纳法得

[left(egin{array}{l} n \ k end{array} ight)+left(egin{array}{c} n \ k-1 end{array} ight)=left(egin{array}{c} n+1 \ k end{array} ight) ]

由此拓展开得

[{sum_{i=1}^{t} x_{i}}^{n}=sum_{满足 sum_{i=1}^{n}n_{i}=n 的非负整数解 } left(egin{array}{c} n \ prod_{i=1}^{t} n_i end{array} ight) prod_{i=1}^{t} x_{i}^{n_i} ]

其中的

(n)	正整数
(x_i)	实数
(left(egin{array}{c}n \ n_{1}, n_{2}, cdots, n_{t}end{array} ight))	多项式系数

性质则有

[sumleft(egin{array}{c} n \ prod_{i=1}^{t} n_{i} end{array} ight)=t^{n} ]

未完待续~