简介
组合数学(Combinatorial mathematics),又称为离散数学。
广义的组合数学就是离散数学,狭义的组合数学是离散数学除图论、代数结构、数理逻辑等的部分。
总之,组合数学是一门研究离散对象的数学科学。
排列组合
排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序;组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。
加法 & 乘法原理
加法原理
对于一件一定可以完成的事情,完成它有 (n) 类方式,第一类方式有 (M_1) 种方法,第二类方式有 (M_2) 种方法,(cdots) ,第 (n) 类方式有 (M_n) 种方法,那么完成这件事情共有 (M_1 + M_2 + cdots + M_n) 种方法。
例如说,你要去 AK IOI 啦! 某场比赛分为若干类分赛, AK 总赛的条件是 AK 任意一类分赛,而每类分赛都有许多种 AK 的方法,则你能够 AK IOI 的方法数量就是 AK 各类分赛的方法数量之和。
加法原理又可以写作
其中 (S) 表示完成这项工作总的方案数, (a_i) 表示每种方案的数量。
乘法原理
对于一件一定可以完成的事情,完成它共需 (n) 步,第一步共有 (M_1) 种方法,第二步共有 (M_2) 种方法, (cdots) ,第 (n) 步共有 (M_n) 种方法,那么完成这件事共有 (M_1 imes M_2 imes cdots imes M_n) 种方法。
又例如说,你还要去 AK IOI 又有某场比赛分为若干类分赛, 而这次 AK 总赛的条件是 AK 所有分赛,而每类分赛都有若干种 AK 的方法,则你能够 AK IOI 的方法数量就是 AK 每类分赛的数量之积。
乘法原理又可以写作
其中 (S) 表示完成这项工作总的方案数, (a_i) 表示每种方案的数量。
排列数
从 (n) 个不同元素中,任取 (m ( m leq n, m) 与 (n) 均为自然数 ()) 个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的一个排列;从 (n) 个不同元素中取出 (m(m leq n)) 个 元素的所有排列的个数,叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的排列数,记作 (A_{n}^{m})(或者是 (P _{n}^{m}))。
排列和组合是基于加法原理和乘法原理得出。
排列的计算公式为
其中
(A) | 排列数 |
(n) | 元素的总数 |
(m) | 选择的元素数 |
(n!) | (n) 的阶乘 |
注:
-
上式中当 (n=m) 时所有的排列情况叫做 全排列 。
-
排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关。
组合数
从 (n) 个不同元素中,任取 (m(m leq n)) 个元素组成一个集合,叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的一个组合; 从 (n) 个不同元素中取出 (m(m leq n)) 个元素的所有组合的个数,叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的组合数,记作 (C _{n}^{m}) 或 (left(egin{array}{l}n \ mend{array} ight)) (目前数学界普遍采用后者的原因知识由于它表意更清晰,更美观便捷。
组合的计算公式为
其中
(C) | 组合数 |
(n) | 元素的总数 |
(m) | 选择的元素数 |
(n!,m!) | (n,m) 的阶乘 |
二项式定理
组合数也被称为 二项式系数 ,是定义为形如 ((1 + x)^n) 展开后 (x) 的系数(其中 (n) 为自然数,(k) 为整数)。
展开式
由归纳法得
由此拓展开得
其中的
(n) | 正整数 |
(x_i) | 实数 |
(left(egin{array}{c}n \ n_{1}, n_{2}, cdots, n_{t}end{array} ight)) | 多项式系数 |
性质则有
未完待续~