HDU 6470：Count（矩阵快速幂）

Count

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Problem Description

Farmer John有n头奶牛.
某天奶牛想要数一数有多少头奶牛,以一种特殊的方式:
第一头奶牛为1号,第二头奶牛为2号,第三头奶牛之后,假如当前奶牛是第n头,那么他的编号就是2倍的第n-2头奶牛的编号加上第n-1头奶牛的编号再加上自己当前的n的三次方为自己的编号.
现在Farmer John想知道,第n头奶牛的编号是多少,估计答案会很大,你只要输出答案对于123456789取模.

Input

第一行输入一个T,表示有T组样例
接下来T行,每行有一个正整数n,表示有n头奶牛 (n>=3)
其中，T=10^4,n<=10^18

Output

共T行,每行一个正整数表示所求的答案

Sample Input

5

3

6

9

12

15

Sample Output

31

700

7486

64651

527023

 思路

给出递推式：f[i]=f[i-1]+2*f[i-2]+n^3

可以构造矩阵：

 

利用矩阵快速幂求解即可

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn=1e6+10;
const ll mod=123456789;
const int maxm=1e3+10;
using namespace std;
struct mart
{
    ll m[6][6];
}unit;
mart mult(mart x,mart y)
{
    mart ans;
    for(int i=0;i<6;i++)
    {
        for(int j=0;j<6;j++)
        {
            ans.m[i][j]=0;
            for(int k=0;k<6;k++)
            {
                ans.m[i][j]+=x.m[i][k]*y.m[k][j];
                ans.m[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    return ans;
}
void init()
{
    for(int i=0;i<6;i++)
        unit.m[i][i]=1;
}
mart qpow(mart a,ll b)
{
    init();
    mart ans=unit;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=mult(ans,a);
        a=mult(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll slove(ll n)
{
    mart a,b;
    int res[6][6]={
        1,2,1,3,3,1,
        1,0,0,0,0,0,
        0,0,1,3,3,1,
        0,0,0,1,2,1,
        0,0,0,0,1,1,
        0,0,0,0,0,1,
    };
    for(int i=0;i<6;i++)
        for(int j=0;j<6;j++)
            a.m[i][j]=1LL*res[i][j];

    b.m[0][0]=2;
    b.m[1][0]=1;
    b.m[2][0]=8;
    b.m[3][0]=4;
    b.m[4][0]=2;
    b.m[5][0]=1;
    mart c=mult(qpow(a,n-2),b);
    return c.m[0][0]%mod;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("/home/wzy/in.txt", "r", stdin);
        freopen("/home/wzy/out.txt", "w", stdout);
        srand((unsigned int)time(NULL));
    #endif
    int t;
    scanf("%d",&t);
    ll n;
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        if(n==1||n==2)
            printf("%lld
",n);
        else
            printf("%lld
",slove(n));
    }
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        cerr<<"Time elapsed: "<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC<<" s."<<endl;
    #endif
    return 0;
}