二叉索引树 树状数组

树状数组 维护一个序列 a1 a2 a3……an

支持两种操作：

1. sum(int a,int b) a~b的区间和

2. add(int x,int d) 第x个数增加d

设lowbit(x)为x的二进制最右边的1表示的值

如lowbit(38288)=lowbit(1001010110010000)=10000=16

lowbit(i)=i&-i

在树状数组中，对于节点i，如果它是左子结点，父节点为i+lowbit(i)；如果它是右子节点，那么父节点是i-lowbit(i)

（不要在意上面的手写）

设置一个数组C，C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+...+A[i]

C对应着那个黑块和它左面的白色长块，如C12=A9+A10+A11+A12

那么如何算前缀和S呢？

从i向上、左爬，把经过的C加起来，不一定沿树上的边，如S11=C11+C10+C8

如果修改了一个Ai，如何更新C？

从i开始向上、右爬，修改沿途的C即可。如修改了A3，C3->C4->C8

代码：(短小精悍)

int sum(int x){
    int ans=0;
    while(x>0){
        ans+=C[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

void add(int x,int d){
    while(x<=n){
        C[x]+=d;
        x+=lowbit(x);
    }
}

时间复杂度为log(n)

预处理先把A、C清空，进行n次add，n log n

树状数组相比线段树的优势：空间复杂度略低，编程复杂度低，容易扩展到多维情况。

劣势：适用范围小，对可以进行的运算也有限制，比如每次要查询的是一个区间的最小值，似乎就没有很好的解决办法。