康托展开

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

以下称第x个全排列是都是指由小到大的顺序。

公式

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+…+a[i]*(i-1)!+…+a[1]*0!

其中,a[i]为整数,并且0<=a[i]<i,1<=i<=n。

a[i]的意义参见举例中的解释部分：比当前数小的后面的数的个数，也就是当前数的逆序对。

举例

例如，3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解释：

排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!

排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

以此类推，直至0*0!

用途

显然，n位（0~n-1）全排列后，其康托展开唯一且最大约为n!，因此可以由更小的空间来储存这些排列。由公式可将X逆推出对应的全排列。

康托展开的逆运算

既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

如n=5,x=96时：

首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去！)

用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.

用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.

用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.

用1去除1!得到1余0，这一位是2.

最后一位只能是1.

所以这个数是45321.

 

按以上方法可以得出通用的算法:

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362800};
int kt(int n,int s[]){
    int ans=0,smallNum;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        smallNum=0;
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            if(s[i]>s[j])smallNum++;
        }
        ans+=smallNum*fac[n-i];
    }
    return ans;
}
void nkt(int n,int k,int s[]){
    int t,j;
    bool vis[11]; memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        t=k/fac[n-i];
        for(j=1;j<=n;j++){
            if(vis[j]==false){
                if(t==0)break;
                else t--;
            }
        }
        s[i]=j; vis[j]=true;
        k%=fac[n-i];
    }
}


int main(){
    int s[]={0, 3,5,7,4,1,2,9,6,8};//下标0不用 
    int n=9;
    
    int k=kt(n,s);
    cout<<k<<endl;
    int d[11];
    nkt(n,k,d);
    for(int i=1;i<=n;i++)cout<<d[i]<<' ';
    cout<<endl;
    
    return 0;
}