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  • 哈夫曼树与哈夫曼码

    概念:

    树的路径长度:一棵树的每一个叶结点到根结点的路径长度的和。

    带权二叉树:给树的叶结点赋上某个实数值(称叶结点的权)。

    带权路径长度:各叶结点的路径长度与其权值的积的总和。

    哈夫曼树(最优二叉树):带权路径长度最小的二叉树。

    如何构建哈夫树:(思想是:权越大离跟越近)

    哈夫曼码:哈夫曼树的非叶结点到左右孩子的路径分别用0,1 表示,从根到叶的路径序列即为哈夫曼码。

    哈夫曼码是不会发生译码多义性的不等长编码,广泛应用实际中,哈夫曼编码并不唯一。

    (原因是任何一字符的编码不是更长编码的前缀部分,为什么?)

    下面演示了用Huffman算法构造一棵Huffman树的过程:

     

    每次选两个最小的节点,将他们合并到一个父节点下,父节点的权为他们两个的和

    把父节点加入剩下的节点中继续比较,重复上述步骤,直到比较队列中只有一个数。

    通常用priority_queue<>

    Huffman编码:a:0     b:10   c:110   d:111

    带权路径长度:7*1+5*2+3*2+3*4=35    //这个值在所有能生成的树中最小,因为这是Huffman树

    等于树的非叶节点的权值和: 6+11+18=35

    题目:

    1063 合并果子(2004noip)

    题目描述 Description

       在一个果园里,多多已经将所有的果子打了下来,而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。

       每一次合并,多多可以把两堆果子合并到一起,消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出,所有的果子经过n-1次合并之后,就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

       因为还要花大力气把这些果子搬回家,所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1,并且已知果子的种类数和每种果子的数目,你的任务是设计出合并的次序方案,使多多耗费的体力最少,并输出这个最小的体力耗费值。

       例如有3种果子,数目依次为1,2,9。可以先将1、2堆合并,新堆数目为3,耗费体力为3。接着,将新堆与原先的第三堆合并,又得到新的堆,数目为12,耗费体力为12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。

    输入描述 Input Description

     输入包括两行,第一行是一个整数n(1<=n<=10000),表示果子的种类数。第二行包含n个整数,用空格分隔,第i个整数ai(1<=ai<=20000)是第i种果子的数目。

    输出描述 Output Description

     输出包括一行,这一行只包含一个整数,也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于231

    样例输入 Sample Input


    1 2 9

    样例输出 Sample Output

    15

    数据范围及提示 Data Size & Hint

    对于30%的数据,保证有n<=1000: 
    对于50%的数据,保证有n<=5000; 
    对于全部的数据,保证有n<=10000。

    题目分析:本题考查了哈夫曼树

    优先队列,将果子放入优先队列,自动排序,将生成的中间节点也放入,自动排序,每次从队列中选两个最小的数值合并。

    代码:

    #include<iostream>
    #include<queue>
    #include<vector>
    using namespace std;
    
    int n;
    int w[100005];
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q;
    int ans=0;
    
    int main(){
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin>>w[i];
            q.push(w[i]);
        }
        while(!q.empty()){
            int a=q.top(); q.pop();
            if(q.empty())break;
            int b=q.top(); q.pop();
            ans+=a+b;
            q.push(a+b);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
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