应用场景
计算超大数据范围内的斐波那契数列
算法原理
根据公式(f[n] = f[n - 1] + f[n - 2])
我们如果想要计算(f[n])的值，需要通过(f[n - 1])和(f[n - 2])
那么通过两个矩阵的运算即可达到我们的目的
- 矩阵1:
[egin{bmatrix}
f[n - 2] & f[n - 1]
end{bmatrix}
]
- 矩阵2:
[egin{bmatrix}
0 & 1 \
1 & 1
end{bmatrix}
]
- 矩阵1 * 矩阵2的结果
[egin{bmatrix}
f[n - 1] & f[n]
end{bmatrix}
]
如果想要计算前n项的和，我们还需要向矩阵中增添元素
- 矩阵1:
[egin{bmatrix}
f[n - 1] & f[n] & s[n - 1]
end{bmatrix}
]
矩阵1之所以这样定义，是因为初始状态是下面这样的
[egin{bmatrix}
f[1] & f[2] & s[1]
end{bmatrix}
]
- 矩阵2:
[egin{bmatrix}
0 & 1 & 0\
1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1
end{bmatrix}
]
- 矩阵1 * 矩阵2的结果
[egin{bmatrix}
f[n] & f[n + 1] & s[n]
end{bmatrix}
]
代码实现
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 3;
int n, m;
void mul(int c[][N], int a[][N], int b[][N]) // c = a * b
{
int temp[N][N] = {0};
// 手算的过程就是先选定a中的一行，然后遍历b的所有列，所以按照如下
for (int i = 0; i < N; ++ i) // 选择a的行
for (int j = 0; j < N; ++ j) // 选择b的列
for (int k = 0; k < N; ++ k) // 选择a的列和b的行
temp[i][j] = (temp[i][j] + (LL)a[i][k] * b[k][j]) % m;
memcpy(c, temp, sizeof temp);
}
int main()
{
cin >> n >> m;
int f[N][N] = {1, 1, 1};
int a[N][N] = {
{0, 1, 0},
{1, 1, 1},
{0, 0, 1}
};
-- n; // 计算s[1]需要乘以a 0 次，所以计算s[n]需要乘以a n-1次
// 计算f*a^n
while (n)
{
if (n & 1) mul(f, f, a);
mul(a, a, a);
n >>= 1;
}
cout << f[0][2] << endl;
return 0;
}