关于主席树
按老师说的，他第一次见到可持久化数据结构的时候，觉得它很神奇（其实只是没见过世面而已）。
主席树，这个名字是怎么来的呢？
原因，学长是这样说的：因为发明这种数据结构的大佬名字缩写和hjt主席一样，于是，便叫主席树。
下面进入正文：
主席树，又称函数式线段树、可持久化线段树。
传说是一位大神没学会划分树，于是发明了这个数据结构，作为替代品。
想要学会主席树，首先你要会线段树，前缀和思想。
既然你点开了这篇博客，那你肯定是会线段树的，不会我也没办法，下次写，至于为什么先写主席树再写线段树，，嗯，，一时兴起。
前缀和思想，这比较基础了吧，如果你不会，那你白学到这里了。
首先我们看一道题目：
给出100000个数，向你提5000问，L到R间的第K大数是多少？
我们首先想到的那肯定是暴力啊！
但是一看数据范围，肯定不行啊。
线段树？
k值是不变的，你怎么写？？
滑动窗口+单调队列？
如果是上面一种情况，l-x到l最大的三个值是1.2.3，l-x到r最大的三个值是4.5.6我们可以清晰地知道l到r之间最大的三个值是4.5.6.
单如果把4改成3呢？
你还能确定3是l到r里的？
那么接下来，我们需要我们亲爱的主席树了。
要知道第k大的值就要维护k个值，然后用前缀和的思想。
but刚刚就说了要线段树，我们先看线段树。
建立n+1棵线段树，统计每个数到sz[i]时的出现次数。那么线段树R比线段树L-1多出来的数中的第K大就是答案。
那么问题来了： 数字如果太大，线段树是装不下的（因为求和啊）
解决的方法： 把所有的数排序、去重，线段树中存储的不是数本身而是数字的排序。
就是给他们一些编号，而且还快呢。
然后，空间，n+1棵线段树。一棵线段树需要开到n*4，那这不是要开到（n+1）n*4？？？？
这显然是不客观的。
那么！我们主席树的神奇之处就体现出来了！
我们可以用公用节点。
建立的过程：
1、数组排序、去重
sz: 2 4 6 8 8 6 4 2
hash:2 4 6 8
用hash的值对sz内的值进行更改变为
sz: 1 2 3 4 4 3 2 1
代码：
for(int i = 1; i <= n; ++i) { readint(sz[i]); hash[i] = sz[i]; } sort(hash + 1, hash + n + 1); int siz = unique(hash + 1, hash + n + 1) - hash - 1; for(int i = 1; i <= n; ++i) sz[i] = lower_bound(hash + 1, hash + siz + 1, sz[i]) - hash;
2、建立root[0]
依照排序去重后的点数建立线段树
[x,y]表示x到y的区间。
代码：
build(root[0], 1, siz);
void build(node * &cur, int l, int r){ cur = (node *)malloc(sizeof(node)); cur -> cnt = 0; cur -> ch[0] = cur -> ch[1] = NULL; cur -> l = l; cur -> r = r; if(l != r){ int mid = (l + r) / 2; build(cur -> ch[0], l, mid); build(cur -> ch[1], mid + 1, r); } }
3、建立root[1]~root[n]（依照数列的大小建立）
代码：
void update(node * pre, int ps, node * &cur, int l, int r){ cur = (node *)malloc(sizeof(node)); cur -> cnt = pre -> cnt + 1; cur -> l = pre -> l; cur -> r = pre -> r; cur -> ch[0] = pre -> ch[0]; cur -> ch[1] = pre -> ch[1]; if(l == r) return ; int mid = (l + r) / 2; if(ps <= mid) update(pre -> ch[0], ps, cur -> ch[0], l, mid); else update(pre -> ch[1], ps, cur -> ch[1], mid + 1, r); }
for(int i = 1; i <= n; ++i) update(root[i - 1], sz[i], root[i], 1, siz);
4、查询
以l,r,k分别为3、8、3为例
root[8]的左孩子-root[2]左孩子为2，说明第3大在右孩子中，查询右孩子的k-2=1；
root[8]的右孩子的左孩子比root[2]的右孩子的左孩子大2，所以在root的右孩子的左孩子中，而此时已经到叶子，返回当前叶子的序号3。
所以3到8的第3大孩子为hash[3]=6。
代码：
int query(node * lt, node *rt, int l, int r, int k) { if(l == r) return l; int mid = (l + r) / 2, cha = rt -> ch[0] -> cnt - lt -> ch[0] -> cnt; if(k <= cha) return query(lt -> ch[0], rt -> ch[0], l, mid, k); else return query(lt -> ch[1], rt -> ch[1], mid + 1, r, k - cha); }
5、节省空间的实际建图
提醒一下：
空间为n*4+n*logn 不过要用数组模拟指针，不然你一遍遍用指针开空间，会MLE。
以下为数组模拟代码：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream>
#include <algorithm> #define MAXN 100001 using namespace std; int n, m, root[MAXN], cut, a[MAXN], s[MAXN], t, x, y, z; struct data { int lc, rc, ans; } tree[MAXN * 20]; void add(int &now, int last, int l, int r, int x) { now = ++cut; tree[now].ans = tree[last].ans + 1; tree[now].lc = tree[last].lc, tree[now].rc = tree[last].rc; if(l == r) return ; int mid = (l + r) >> 1; if(x <= mid) add(tree[now].lc, tree[last].lc, l, mid, x); else add(tree[now].rc, tree[last].rc, mid + 1, r, x); return ; } int query(int L, int R, int l, int r, int x) { if(l == r) return l; int p = tree[tree[R].lc].ans - tree[tree[L].lc].ans; int mid = (l + r) >> 1; if(p >= x) return query(tree[L].lc, tree[R].lc, l, mid, x); else return query(tree[L].rc, tree[R].rc, mid + 1, r, x - p); } int main() { while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) { cin >> n >> m; cut = 0; memset(root, 0, sizeof root); for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> s[i] >> s[i]; sort(s + 1, s + n + 1); for(int i = 1; i <= n; i++) { int p = lower_bound(s + 1, s + n + 1, a[i]) - s; add(root[i], root[i - 1], 1, n, p); } while(m--) { cin >> x >> y >> z; int p = query(root[x - 1], root[y], 1, n, z); printf("%d ", s[p]); } } return 0; }
有个简单的问题，什么是爱情？