【树形DP】【分组背包】【HDU1561】

【题目来源】http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1561

【题目解析】有树形依赖的背包问题。

　　　　　　流传较广的是多叉树转二叉树的DP方法。首先运用“左儿子右兄弟”的方法将多叉树转化为二叉树。这样的话，DP的进程就更加容易。由于是二叉，那么只需要枚举分配给左儿子多少个点，分配给右儿子（右兄弟）多少个点即可。不过需要注意的是枚举给左儿子的时候记得给父亲留一个点，因为是依赖的；枚举给右儿子的时候可以全部给它，因为它和父节点是兄弟关系。

　　　　　　这里要解析的是直接多叉树DP，即直接在原有的树上面进行DP。从递归的角度来考虑：把根节点看成是一个容量为V背包，其所有的子树看成是物品。枚举每个子树，对于某个子树来说，先去掉这棵子树根节点的体积W，递归求出剩下的V-W容量的背包能装下这个子树的子树的物品。那么将会得到一个从0..V-W的一个01背包，把每一个体积及其对应的价值看成是一个物品，因此共有V-W+1个物品，每个物品再算上所去掉的根节点。那么新的这V-W+1个物品可以看成是一个分组，物品之间是互斥的，只能选择其一。由此可见，对于每个根节点来说，它的所有子树就可以看成是一组组的分组物品，各组内部的物品之间是互斥的，只能选择其一。所以问题最终的本质是在树上进行的分组背包。

【代码如下】

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int Max = 201;

struct edge
{
    int v;
    edge* next;
    edge(int _v, edge* _next) : v(_v), next(_next) {}
}* E[Max];

int N, V, F[Max][Max], C[Max];

void Clear()
{
    memset(F, 0, sizeof(F));
    memset(E, 0, sizeof(E));
}

void Dp(int i, int V)
{
    for (edge* j = E[i]; j; j = j -> next)
    {
        int v = j -> v;
        Dp(v, V - 1);
        for (int k = V; k >= 0; k --)
            for (int l = 0; l < min(V, k); l ++)
                F[i][k] = max(F[i][k], F[i][k - (l + 1)] + F[v][l] + C[v]);
    }
}

inline void edgeAdd(int x, int y)
{
    E[x] = new edge(y, E[x]);
}

void Init()
{
    for (int i = 1, x; i <= N; i ++)
    {
        cin >> x >> C[i];
        edgeAdd(x, i);
    }
}

int main()
{
    cin >> N >> V;
    while (N || V)
    {
        Init();
        Dp(0, V);
        cout << F[0][V] << endl;
        Clear();
        cin >> N >> V;
    }
    return 0;
}