题目描述
Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i and n.
输入
The first line contains T the number of test cases. Each of the next T lines contain an integer n.
输出
Output T lines, one for each test case, containing the required sum.
样例输入
3
1
2
5
样例输出
1
4
55
题解
欧拉函数
其中需要解释一下最后一个式子的推导过程：
有一个结论：当n>2时，小于n且与n互质的数的和等于$frac{n·varphi(n)}2$，因为若k与n互质，则n-k一定也与n互质。
当n=2时这个关系式在数值上成立，当n=1时不成立，需要特殊处理。
所以可以先筛欧拉函数，然后枚举d，将1~n所有能够整除d的数的答案加上$frac{d·varphi(d)}2$。最后输出答案时再加一点处理即可。
时间复杂度为调和级数的$O(nln n)$
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 1000010
using namespace std;
typedef long long ll;
const int m = 1000000;
int phi[N] , prime[N] , tot;
ll f[N];
bool np[N];
int main()
{
int i , j , T , n;
for(i = 2 ; i <= m ; i ++ )
{
if(!np[i]) phi[i] = i - 1 , prime[++tot] = i;
for(j = 1 ; j <= tot && i * prime[j] <= m ; j ++ )
{
np[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0)
{
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
}
}
for(i = 2 ; i <= m ; i ++ )
for(j = i ; j <= m ; j += i)
f[j] += (ll)i * phi[i] / 2;
scanf("%d" , &T);
while(T -- ) scanf("%d" , &n) , printf("%lld
" , (f[n] + 1) * n);
return 0;
}