【loj6191】「美团 CodeM 复赛」配对游戏 概率期望dp

题目描述

n次向一个栈中加入0或1中随机1个，如果一次加入0时栈顶元素为1，则将这两个元素弹栈。问最终栈中元素个数的期望是多少。

输入

一行一个正整数 n 。

输出

一行一个实数，表示期望剩下的人数，四舍五入保留三位小数。

样例输入

10

样例输出

4.168

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题解

概率期望dp

显然任何时刻栈中的元素自底至顶一定是若干个0+若干个1。

但是如果设状态$p[i][j][k]$表示前$i$次操作，栈中$j$个0，$k$个1的概率，复杂度是$O(n^3)$的，显然会TLE。

注意到$0$的个数对状态转移是没有影响的，而期望在任何时刻都具有可加性，因此可以设$f[i][j]$表示前$i$次操作，栈中$j$个1的期望元素个数。

那么直接考虑新加入一个是0还是1，看一下长度是增加还是减少即可。

这里有一个问题：每次增加或减少的长度是多少？由于我们设的是总情况的期望，而期望等于 概率*权值 ，这种情况的权值为1，因此期望值就是这种情况的概率。

所以还需要维护一个$p[i][j]$表示前$i$次操作，栈中$j$个1的概率。每次使用概率转移期望即可。

时间复杂度$O(n^2)$

#include <cstdio>
#define N 2010
double p[N][N] , f[N][N];
int main()
{
	int n , i , j;
	double ans = 0;
	scanf("%d" , &n) , p[0][0] = 1;
	for(i = 0 ; i < n ; i ++ )
	{
		p[i + 1][1] += p[i][0] / 2 , f[i + 1][1] += (f[i][0] + p[i][0]) / 2;
		p[i + 1][0] += p[i][0] / 2 , f[i + 1][0] += (f[i][0] + p[i][0]) / 2;
		for(j = 1 ; j < n ; j ++ )
		{
			p[i + 1][j + 1] += p[i][j] / 2 , f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] + p[i][j]) / 2;
			p[i + 1][j - 1] += p[i][j] / 2 , f[i + 1][j - 1] += (f[i][j] - p[i][j]) / 2;
		}
	}
	for(i = 0 ; i <= n ; i ++ ) ans += f[n][i];
	printf("%.3lf
" , ans);
	return 0;
}