题目描述
求满足 $1le a_ile n , 1le a_{i+1}-a_ile m$ 的序列 $a_1...a_k$ 的个数模 $p$ 的值。
输入
只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。
输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。
输出
仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。
样例输入
7 3 2 997
样例输出
16
题解
数学
设第 $i$ 天与第 $i+1$ 天的差为 $a_i$，那么显然答案为：
$sumlimits_{a_1=1}^msumlimits_{a_2=1}^m...sumlimits_{a_{k-1}=1}^m(n-a_1-a_2-...-a_{k-1})$
考虑这个式子是什么：
由于每个数有 $m$ 种取值，因此相当于有 $m^{k-1}$ 次加和， $n$ 的那一部分答案为 $n·m^{k-1}$ 。
思考后面的部分$sumlimits_{a_1=1}^msumlimits_{a_2=1}^m...sumlimits_{a_{k-1}=1}^m(a_1+a_2+...+a_{k-1})$，考虑每个数的贡献：该数每一个取值对应着 $m^{k-2}$ 次加和，所以每个数的贡献为 $m^{k-2}·sumlimits_{i=1}^mi=frac{(m+1)m^{k-1}}2$，因此总和为 $frac{(k-1)(m+1)m^{k-1}}2$。
最终答案即为 $n·m^{k-1}-frac{(k-1)(m+1)m^{k-1}}2=frac{m^{k-1}(2n-(k-1)(m+1))}2$，使用快速幂计算即可。
注意这个除2比较难以处理，考虑将模数*2变为偶数，那么原答案的奇偶性不变，可以直接除2。
千万要注意取模的问题！
#include <cstdio>
typedef long long ll;
ll n , k , m , p;
ll pow(ll x , ll y)
{
ll ans = 1;
while(y)
{
if(y & 1) ans = ans * x % p;
x = x * x % p , y >>= 1;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld" , &n , &k , &m , &p) , p <<= 1;
printf("%lld
" , (pow(m , k - 1) * (2 * n % p - (m + 1) * (k - 1) % p) / 2 % p + p) % (p >> 1));
return 0;
}