题目描述
两人进行 $T$ 轮游戏，给定参数 $F$ ，每轮给出 $N$ 堆石子，先手和后手轮流选择石子数大于等于 $F$ 的一堆，将其分成任意（大于1）堆，使得这些堆中石子数最多的和最少的相差不超过1（即尽量均分）。求先手和后手谁必胜。
输入
输入第一行包含两个正整数T和F，分别表示游戏组数与给定的数。
接下来T行，每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数，表示这N堆石子分别有多少个。
输出
输出一行，包含T个用空格隔开的0或1的数，其中0代表此时小A（后手）会胜利，而1代表小A的对手（先手）会胜利。
样例输入
4 3
1 1
1 2
1 3
1 5
样例输出
0 0 1 1
题解
博弈论+SG定理+数学
显然游戏为多状态组合游戏，考虑使用SG定理求解。
SG定理：定义每种局面的SG函数值为该局面所有子局面SG函数值的mex，多状态组合游戏的SG值为每个状态SG值的异或。SG值为0时先手必败，否则先手必胜。
设 $f[i]$ 表示一堆 $i$ 个石子的SG函数值，当 $i<f$ 时 $f[i]=0$ 。枚举分成的堆数 $j$ ，根据定义有 $f[i]= ext{mex}_{j=2}^{i}f[frac ij] ext{^}f[frac ij] ext{^}... ext{^}f[frac ij] ext{^}f[frac ij+1] ext{^}f[frac ij+1] ext{^}... ext{^}f[frac ij+1]$ 。
其中 $ ext{^}$ 表示异或，$f[frac ij]$ 有 $j-i\%j$ 个，$f[frac ij+1]$ 有 $i\%j$ 个，$\%$ 表示模。
这里出现了 $frac ij$ ，可以使用数学下底分块的方法枚举商，求出 $frac ij$ 相等的一段区间。
由于 $x ext{^}x=0$ ，因此只需要考虑 $j-i\%j$ 和 $i\%j$ 的奇偶性即可。
又因为 $i\%j=i-j·frac ij$ ，因此当 $frac ij$ 为定值时，相同奇偶性的 $j$ 对应的答案相同。
具体来讲 ，$ ext{mex}$ 后面的部分当 $j$ 为偶数时：$i$ 为奇数时为 $f[frac ij] ext{^}f[frac ij+1]$ ，否则为 $0$ ；当 $j$ 为奇数时：$i-j$ 为奇数为 $f[frac ij+1]$ ，否则为 $f[frac ij]$ 。
之后暴力求 $ ext{mex}$ 即可（复杂度是对的）。
最后对于询问，将每堆的SG值异或即可得到最终的SG值。
时间复杂度 $O(nsqrt n)$ 。
bzoj上比较卡常，需要使用时间戳优化来记录每个SG是否作为子状态出现。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int f[100010] , v[100010];
inline void calc(int n , int c)
{
int i , t , last;
for(i = 2 ; i <= n ; i = last + 1)
{
t = n / i , last = n / t;
if(last / 2 > (i - 1) / 2)
{
if(n & 1) v[f[t] ^ f[t + 1]] = c;
else v[0] = c;
}
if((last + 1) / 2 > i / 2)
{
if((n - t) & 1) v[f[t + 1]] = c;
else v[f[t]] = c;
}
}
}
int main()
{
int T , c , i , n , x , val;
scanf("%d%d" , &T , &c);
for(i = c ; i < 100000 ; i ++ )
{
calc(i , i);
while(v[f[i]] == i) f[i] ++ ;
}
while(T -- )
{
scanf("%d" , &n) , val = 0;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &x) , val ^= f[x];
printf("%d" , (bool)val);
if(T) printf(" ");
}
return 0;
}