给你一个长度为 $n$ 的序列 ${a_i}$ 和一个数 $x$ ，对于任意一个 $1sim n$ 的排列 ${p_i}$ ，从 $1$ 到 $n$ 依次执行 $x=x ext{mod} a_{p_i}$ ，最终得到一个数。求所有排列中能够得到的这个数的最大值，以及有多少种排列可以得到这个值。
$nle 1000$ ，$xle 5000$ 。
题解
组合数学+dp
由于 $a ext{mod} b<b$ ，因此每次产生影响（即 $x ext{mod} a_i e x$）的 $a_i$ 一定是递减的。
考虑将所有数从大到小排序处理。当确定了某个要产生影响的模数 $a_i$ ，$(x ext{mod} a_i,x]$ 中除了 $a_i$ 的数就都可以随便放在 $a_i$ 的后面，因为它们不会产生贡献。
设 $f[i]$ 表示处理完 $(i,+infty)$ 的数，剩下的数为 $i$ 的方案数。
那么考虑 $f[i]$ ，枚举下一个选择的数 $j$ ，令 $s[i]$ 表示小于等于 $i$ 的数的个数，则有 $f[i ext{mod} j]=f[i] imes A_{s[i]-1}^{s[i]-1-s[i ext{mod} j]}=f[i] imesfrac{(s[i]-1)!}{(s[i ext{mod} j])!}$ 。预处理阶乘及阶乘的逆元即可。
时间复杂度 $O(n^2)$ 。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 1010
#define M 5010
#define mod 998244353
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[N] , sum[M];
ll fac[N] , inv[N] , fin[N] , f[M];
int main()
{
int n , m = 5000 , x , i , j , mn = m;
scanf("%d%d" , &n , &x);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]) , sum[a[i]] ++ , mn = min(mn , a[i]);
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) sum[i] += sum[i - 1];
fac[0] = fin[0] = fac[1] = inv[1] = fin[1] = 1;
for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
{
fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
fin[i] = fin[i - 1] * inv[i] % mod;
}
f[x] = fac[n] * fin[sum[x]] % mod;
for(i = m ; i ; i -- )
for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
if(a[j] <= i)
f[i % a[j]] = (f[i % a[j]] + f[i] * fac[sum[i] - 1] % mod * fin[sum[i % a[j]]]) % mod;
for(i = mn - 1 ; ~i ; i -- )
if(f[i])
break;
printf("%d %lld" , i , f[i]);
return 0;
}