第三次作业

 参考书《数据压缩导论（第4版）》  Page 100   5， 6

  5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₂a₃a₂a₃a₁ 的实值标签。

 解：

定义随机变量X(a_i)=i，假定我们对113231进行编码。

从概率模型可知：

F_x(k)=0,k≤0,F_x(1)=0.2,F_x(2)=0.5,F_x(3)=1,F_x(k)=1,k>3

设l⁽⁰⁾=0，u⁽⁰⁾=1，该序列的第一个元素为1，则：

l⁽¹⁾=0+(1-0)0=0；

u⁽¹⁾=0+(1-0)0.2=0.2

所以该标签则在区间[0,0.2)中。

该序列的第二个元素为1，则：

l⁽²⁾=0+(0.2-0)0=0；

u⁽²⁾=0+(0.2-0)0.2=0.04

所以该标签则在区间[0,0.04)中。

该序列的第三个元素为3，则：

l⁽³⁾=0+(0.04-0)0.5=0.02；

u⁽³⁾=0+(0.04-0)1=0.04

所以该标签则在区间[0.02,0.04)中。

该序列的第四个元素为2，则：

l⁽⁴⁾=0.02+(0.04-0.02)0.2=0.024；

u⁽⁴⁾=0.02+(0.04-0.02)0.5=0.03

所以该标签则在区间[0.024,0.03)中。

该序列的第五个元素为3，则：

l⁽⁵⁾=0.024+(0.03-0.024)0.5=0.027；

u⁽⁵⁾=0.024+(0.03-0.024)1=0.03

所以该标签则在区间[0.027,0.03)中。

该序列的第六个元素为1，则：

l⁽⁶⁾=0.027+(0.03-0.027)0=0.027；

u⁽⁶⁾=0.027+(0.03-0.027)0.2=0.0276

所以该标签则在区间[0.027,0.0276)中。

生成序列113231的标签如下：

T_x(113231)=(0.027+0.0276)/2=0.0273

 即T_x(a₁a₁a₃a₂a₃a₁)=(0.027+0.0276)/2=0.0273

  6、对于表4-9所示的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

解：

设l⁽⁰⁾=0，u⁽⁰⁾=1；

l⁽¹⁾=0+(1-0)F_x(x₁-1)=F_x(x₁-1)；

u⁽¹⁾=0+(1-0)F_x(x₁)=F_x(x₁) 

若x₁=1，则该区间为[0,0.2)；

若x₁=2，则该区间为[0.2,0.5)；

若x₁=3，则该区间为[0.5,1)；

因为0.63215699在[0.5,1)中，所以x₁=3。

l⁽²⁾=0.5+(1-0.5)F_x(x₂-1)=0.5+0.5F_x(x₂-1)；

u⁽²⁾=0.5+(1-0.5)F_x(x₂)=0.5+0.5F_x(x₂) ；

若x₂=1，则该区间为[0.5,0.6)；

若x₂=2，则该区间为[0.6,0.75)；

若x₂=3，则该区间为[0.75,1)；

因为0.63215699在[0.6,0.75)中，所以x₂=2 。

l⁽³⁾=0.6+(0.75-0.6)F_x(x₃-1)=0.6+0.15F_x(x₃-1)；

u⁽³⁾=0.6+(0.75-0.6)F_x(x₃)=0.6+0.15F_x(x₃) ；

若x₃=1，则该区间为[0.6,0.63)；

若x₃=2，则该区间为[0.63,0.675)；

若x₃=3，则该区间为[0.675,0.75)

因为0.63215699在[0.63,0.675)中，所以x₃=2。

l⁽⁴⁾=0.63+(0.675-0.63)F_x(x₄-1)=0.63+0.045F_x(x₄-1)；

u⁽⁴⁾=0.625+(0.675-0.3)F_x(x₄)=0.63+0.045F_x(x₄)；

若x₄=1，则该区间为[0.63,0.639)；

若x₄=2，则该区间为[0.639,0.6525)；

若x₄=3，则该区间为[0.6525,0.675)；

因为0.63215699在[0.63,0.639)中，所以x₄=1。

l⁽⁵⁾=0.63+(0.639-0.63)F_x(x₅-1)=0.63+0.009F_x(x₅-1)；

u⁽⁵⁾=0.63+(0.639-0.63)F_x(x₅)=0.63+0.009F_x(x₅)；

若x₅=1，则该区间为[0.63,0.6318)；

若x₅=2，则该区间为[0.6318,0.6345)；

若x₅=3，则该区间为[0.6345,0.639)；

因为0.63215699在[0.6318,0.6345)中，所以x₅=2。

l⁽⁶⁾=0.6318+(0.6345-0.6318)F_x(x₆-1)=0.6318+0.0027F_x(x₆-1)；

u⁽⁶⁾=0.6318+(0.6345-0.6318)F_x(x₆)=0.6318+0.0027F_x(x₆)；

若x₆=1，则该区间为[0.6318,0.63234)；

若x₆=2，则该区间为[0.63234,0.63315)；

若x₆=3，则该区间为[0.63315,0.6345)；

因为0.63215699在[0.6318,0.63234)中，所以x₆=1。

l⁽⁷⁾=0.6318+(0.63234-0.6318)F_x(x₇-1)=0.6318+0.00054F_x(x₇-1)；

u⁽⁷⁾=0.6318+(0.63234-0.6318)F_x(x₇)=0.6318+0.00054F_x(x₇)；

若x₇=1，则该区间为[0.6318,0.631908)；

若x₇=2，则该区间为[0.631908,0.63207)；

若x₇=3，则该区间为[0.63207,0.63234)；

因为0.63215699在[0.63207,0.63234)中，所以x₇=3。

l⁽⁸⁾=0.63207+(0.63234-0.63207)F_x(x₈-1)=0.63207+0.00027F_x(x₈-1)；

u⁽⁸⁾=0.63207+(0.63234-0.63207)F_x(x₈)=0.63207+0.00027F_x(x₈)；

若x₈=1，则该区间为[0.63207,0.632124)；

若x₈=2，则该区间为[0.632124,0.632205)；

若x₈=3，则该区间为[0.632205,0.63234)；

因为0.63215699在[0.632124,0.632205)中，所以x₈=2。

l⁽⁹⁾=0.632124+(0.632205-0.632085)F_x(x₉-1)=632124+0.0000243F_x(x₉-1)；

u⁽⁹⁾=632124+(0.632205-0.632085)F_x(x₉)=632124+0.0000243F_x(x₉)；

若x₉=1，则该区间为[0.632124,0.6321402)；

若x₉=2，则该区间为[0.6321402,0.6321645)；

若x₉=3，则该区间为[0.6321645,0.632205)；

因为0.63215699在[0.6321402,0.6321645)中，所以x₉=2。

l⁽¹⁰⁾=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)F_x(x₁₀-1)=0.6321402+0.0000243F_x(x₁₀-1)；

u⁽¹⁰⁾=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)F_x(x₁₀)=0.6321402+0.0000243F_x(x₁₀)；

若x₁₀=1，则该区间为[0.6321402,0.63214506)；

若x₁₀=2，则该区间为[0.63214506,0.63215235)；

若x₁₀=3，则该区间为[0.63215235,0.6321645)；

因为0.63215699在[0.63215235,0.6321645)中，所以x₁₀=3。

则该序列为3221213223即a₃a₂a₂a₁a₂a₁a₃a₂a₂a_3。