0-1 背包问题

算法打卡第29天

前言

　　虽然跟着振哥打卡了这么久，好多东西不复习早就都已经忘完了，于是今天格外的兴奋，想到了我每天第一时刻都会关注的博客来记录我之后的算法历程，

此刻，2021年2月2号星期2(还是源于我老爸不经意的一句话)，现在的我还是一个小白白，刚过完Python 基础，面向对象才摸到了皮毛，后面还有很多严峻的挑战，

不知道几年后看到自己的这篇文章，想到自己最初的样子会是一个怎样的心情，也期待那时的我会在哪个城市。突然提笔还不知道怎么继续，可能现在是最迷茫的时候，

面临着毕业，等待着成绩，期盼着未来。

鸡汤：

　　山脉没有起伏怎么会有人称赞山峰的巍峨，大海没有波涛又怎会有人称赞浪花的美丽

 

一.算法简介(wiki)

　　背包问题（Knapsack problem）是⼀种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。 

　　相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应⽤数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V。 

　　0-1 背包是一个经典的组合优化问题，其中的思想非常重要。今天我们以一个简单的例子，先来体会 0-1 背包问题。

　　有一个最大承重量为w 的背包，第i 件物品的价值为a1[i] ，第i 件物品的重量为a2[i] ，将物品装入背包，求解背包内最大的价值总和可以为多少？

例子：

a1 = [100, 70, 50, 10], a2 = [10, 4, 6, 12], w = 12, 背包内的最大价值总和为 120，分别装入重量

为4和6的物品，能获得最大价值为 120，补全下面代码，返回求解的最大价值：

def f(a1,a2,w):
    pass

二.分析过程

如下图所示：

第一行物品价值，第二行物品重量，我们从最右侧开始决策是否装入重量为12的物品：

背包可装最大重量恰好为 12

• 如果选择装入此物品，背包内物品价值为 10，并且已经不能再装入，因此得到一种可行解：价值为 10
• 如果选择不装入，我们的视线移动到下一个物品决策上，同样地我们会面临装入还是不装入的两个可选择项：
  • 如果选择装入，创造 50 价值，并且还能最多装入重量为6的物品：
    

代码实现：

a1 = [100, 70, 50, 10]
a2 = [10, 4, 6, 12]
w = 12


def f(i, w):
    if w == 0 or i < 0:
        return 0
    elif a2[i] > w:
        return f(i-1, w)
    return max(a1[i] + f(i-1, w-a2[i]), f(i-1, w))


r = f(3, w)
print(r)

 三.动态规划

　　我们需要选择n个元素中的若干个来形成最优解，假定为k个。那么对于这k个元素a1, a2, ...ak来说，它们组成的物品组合必然满足总重量<=背包重量限制，而且它们的价值必然是最大的。因为它们是我们假定的最优选择嘛，肯定价值应该是最大的。假定ak是我们按照前面顺序放入的最后一个物品。它的重量为wk，它的价值为vk。既然我们前面选择的这k个元素构成了最优选择，如果我们把这个ak物品拿走，对应于k-1个物品来说，它们所涵盖的重量范围为0-(W-wk)。假定W为背包允许承重的量。假定最终的价值是V，剩下的物品所构成的价值为V-vk。这剩下的k-1个元素是不是构成了一个这种W-wk的最优解呢？
我们可以用反证法来推导。假定拿走ak这个物品后，剩下的这些物品没有构成W-wk重量范围的最佳价值选择。那么我们肯定有另外k-1个元素，他们在W-wk重量范围内构成的价值更大。如果这样的话，我们用这k-1个物品再加上第k个，他们构成的最终W重量范围内的价值就是最优的。这岂不是和我们前面假设的k个元素构成最佳矛盾了吗？所以我们可以肯定，在这k个元素里拿掉最后那个元素，前面剩下的元素依然构成一个最佳解。
现在我们经过前面的推理已经得到了一个基本的递推关系，就是一个最优解的子解集也是最优的。可是，我们该怎么来求得这个最优解呢？我们这样来看。假定我们定义一个函数c[i, w]表示到第i个元素为止，在限制总重量为w的情况下我们所能选择到的最优解。那么这个最优解要么包含有i这个物品，要么不包含，肯定是这两种情况中的一种。如果我们选择了第i个物品，那么实际上这个最优解是c[i - 1, w-wi] + vi。而如果我们没有选择第i个物品，这个最优解是c[i-1, w]。这样，实际上对于到底要不要取第i个物品，我们只要比较这两种情况，哪个的结果值更大不就是最优的么？
在前面讨论的关系里，还有一个情况我们需要考虑的就是，我们这个最优解是基于选择物品i时总重量还是在w范围内的，如果超出了呢？我们肯定不能选择它，这就和c[i-1, w]一样。
这里有一点值得注意，这里的wi指的是第i个物品的重量，而不是到第i个物品时的总重量。
另外，对于初始的情况呢？很明显c[0, w]里不管w是多少，肯定为0。因为它表示我们一个物品都不选择的情况。c[i, 0]也一样，当我们总重量限制为0时，肯定价值为0。
这样，基于我们前面讨论的这3个部分，我们可以得到一个如下的递推公式：

 

 

有了这个关系，我们可以更进一步的来考虑代码实现了。我们有这么一个递归的关系，其中，后面的函数结果其实是依赖于前面的结果的。我们只要按照前面求出来最基础的最优条件，然后往后面一步步递推，就可以找到结果了。
我们再来考虑一下具体实现的细节。这一组物品分别有价值和重量，我们可以定义两个数组int[] v, int[] w。v[i]表示第i个物品的价值，w[i]表示第i个物品的重量。为了表示c[i, w]，我们可以使用一个int[i][w]的矩阵。其中i的最大值为物品的数量，而w表示最大的重量限制。按照前面的递推关系，c[i][0]和c[0][w]都是0。而我们所要求的最终结果是c[n][w]。所以我们实际中创建的矩阵是(n + 1) x (w + 1)的规格。

 

代码实现

import numpy as np


def solve(vlist,wlist,totalWeight,totalLength):
    resArr = np.zeros((totalLength+1,totalWeight+1),dtype=np.int32)
    for i in range(1,totalLength+1):
        for j in range(1,totalWeight+1):
            if wlist[i] <= j:
                resArr[i,j] = max(resArr[i-1,j-wlist[i]]+vlist[i],resArr[i-1,j])
            else:
                resArr[i,j] = resArr[i-1,j]
    return resArr[-1,-1]

if __name__ == '__main__':
    v = [0, 20, 200, 120]
    w = [0, 10, 20, 30]
    weight = 50
    n = 3
    result = solve(v, w, weight, n)
    print(result)

参考链接：https://www.jianshu.com/p/25f4a183ede5