[BZOJ4299]Codechef FRBSUM

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题面

数集S的ForbiddenSum定义为无法用S的某个子集（可以为空）的和表示的最小的非负整数。

例如，S={1,1,3,7}，则它的子集和中包含0(S’=∅)，1(S’={1})，2(S’={1,1})，3(S’={3})，4(S’={1,3})，5(S' = {1, 1, 3})，但是它无法得到6。因此S的ForbiddenSum为6。

给定一个序列A，你的任务是回答该数列的一些子区间所形成的数集的ForbiddenSum是多少。

Input

输入数据的第一行包含一个整数N，表示序列的长度。

接下来一行包含N个数，表示给定的序列A（从1标号）。

接下来一行包含一个整数M，表示询问的组数。

接下来M行，每行一对整数，表示一组询问。

Output

对于每组询问，输出一行表示对应的答案。

Sample Input

5 1 2 4 9 10 5 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

Sample Output

2 4 8 8 8

Hint

对于100%的数据，1≤N,M≤100000,1≤A_i≤10^9 ，1≤A_1+A_2+…+A_N≤10^9。

思路

我们首先考虑一下，如果一个元素新加入一个数列，会发生什么变化。设当前能凑出的最大值为(max)，现在加入元素(a)，显然，将每个可以凑出的值加上(a)就得到了可以包含(a)的子集的和的值域：[a,max+a]，如果(a leq max+1)，那就可以更新max为(max+a)。如果(a >max+1)那么很显然，如果加入这个元素对现在的(max)值无影响，但是对未来的(max)可能会有影响，所以不能直接舍去。

那么对于一次操作，我们可以写一下伪代码：

int max=0;
while(1){
    int sum_now=the sum of {a|a<=max+1};//相当于把所有小于等于max+1一次加入
    if(sum_now>max){//更新max
        max=sum_now;
    }
    else{//已更新完所有的数，无法再次更新
        break;
    }
}

那么现在这道题就转变为了在规定区间内，每次操作求[1,max+1]的和，并多次操作，直到无法操作为止。

那解法就很显然了，建立一棵权值线段树并可持久化，利用前缀和的方式维护区间查询。因为这道题涉及数值加减，所以不能直接离散化，而是要做一个结构体，把离散化后的值（所在叶子节点序号）和原数值都存一下。离散化后的值用于定位叶子节点，而线段树维护的是原数值的和。

复杂度(N log N + M log P log N)，其中(P)为(sum_{i=1}^{n} {a_i})。证明有点麻烦，过程可以看下面的链接。

复杂度证明

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn (int)(1e5+1000)
#define ll long long
int n,m,idx,len,rt[maxn<<5],a[maxn],sorted[maxn],ls[maxn<<5],rs[maxn<<5];
ll sum[maxn<<5];
int build(int l,int r){
	int now=++idx;
	if(l==r)return now;
	int mid=(l+r)>>1;
	ls[now]=build(l,mid);
	rs[now]=build(mid+1,r);
	return now;
}
int update(int last,int num,int l,int r){
	int now=++idx;
	sum[now]=sum[last]+sorted[num],ls[now]=ls[last],rs[now]=rs[last];
	int mid=(l+r)>>1;
	if(l==r){return now;}
	if(num<=mid){
		ls[now]=update(ls[last],num,l,mid);
	}
	else{
		rs[now]=update(rs[last],num,mid+1,r);
	}
	return now;
}
int getid(int x){
	return lower_bound(sorted+1,sorted+1+len,x)-sorted;
}
ll get_sum(int pre,int now,int l,int r,int tl,int tr){
	if(tr<tl)return 0;
	if(tl<=l&&r<=tr){return sum[now]-sum[pre];}
	int mid=(l+r)>>1;
	ll ans=0;
	if(tl<=mid){ans+=get_sum(ls[pre],ls[now],l,mid,tl,tr);}
	if(tr>=mid+1){ans+=get_sum(rs[pre],rs[now],mid+1,r,tl,tr);}
	return ans;
}
int main(){
	//freopen("in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);sorted[i]=a[i];
	}
	sort(sorted+1,sorted+1+n);
	len=unique(sorted+1,sorted+1+n)-sorted-1;
	rt[0]=build(1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		rt[i]=update(rt[i-1],getid(a[i]),1,len);
	}
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);
		ll tot_max=0,sum_now=0;
		while(1){
			int id=upper_bound(sorted+1,sorted+1+len,tot_max+1)-sorted-1;
			if(id>len)id=len;
			sum_now=get_sum(rt[l-1],rt[r],1,len,1,id);
			if(sum_now>tot_max){
				tot_max=sum_now;
			}
			else if(sum_now==tot_max){
				break;
			}
		}
		tot_max++;
		printf("%lld
",tot_max);
	}
	return 0;
}