[算法模版]同余最短路

[算法模版]同余最短路

算法描述

当我们解决形如(sum_{i=1}^n a_ix_i=k)的时候，我们可以使用同余最短路来解决。

我们选择一个最小的(a_i)作为base，然后把其他的(a)表示成(base*p+left)的形式。

我们定义(f[i])代表凑出(mod base)余(i)的数最小需要多少个(base)。

而一个数(p)能被凑出当且仅当(f[pmod base]leq frac {p}{base})

for(int i=0;i<base;i++){
    add(i,(i+a1)%base,a1);
    add(i,(i+a2)%base,a2);
}

一些疑问

f[i]不会炸ll吗？

我们把(mod base)的剩余系考虑成一个环，那么(f[i])代表在换上转几次圈才能走到(i)这个点。每次走的步数可以在序列(a)中任意选择一个。

我们会发现，要让所有(f[i])最小，那我们每次走都应该是从一个走过的点走到一个没有走到过的点。如果走了一段时间，发现不管从环上哪个点走，走多少步，都无法到达一个没到达过的点。这种情况下，没到达过的点就永远不能到达了。

所以走的次数的上界就是最大的(a)。

因为如果把最大的(a)取为(base)(虽然这样复杂度不是最优的，但是我们可以这样来计算上界)。那么每走一圈都最少会新到达一个点。所以要取遍剩余系就最多需要走(a_{max})次。

为什么要选最小的(a)作为模数？

显然，这样可以保证点数最小（剩余系最小）。

另一种方法

上一种方法虽然可以针对元素大小超过(10^{18})的情况，但是很容易会写炸。

于是我用了另一种方法：(f[i])记录凑出(mod base)余(i)最小的数是多少。

这样虽然要求元素小于(10^9)，但是好实现多了。