基于稀疏表（Sparse Table）的RMQ（区间最值问题）

在RMQ的其他实现方法中，有一种叫做ST的算法比较常见。

【构建】

dp[i][j]表示的是从i起连续的2^j个数x_i,x_i+1,x_i+2,...x_i+2^j-1( 区间为[i,i+2^j-1] )的最值。

状态转移方程dp[i][j]=max/min（dp[i][j-1], dp[i+2^j-1][j-1]）

【查询】

对于一个查询区间[x,y],只要找到一个或者多个2的整数倍长度的刚好区间覆盖[x,y] ，取这些区间最值的最值就是答案了。

     如何把[x,y]覆盖完整？

一种办法是把区间的长度按照二进制分成多个2的整数倍区间，显然这些区间是不重叠的，这样求多次最值就能得到答案。不过这种发放增加了算法常数，一次查询可能就要求几十次最值。

还有种更好的方法，原理是：为了减少分割出的区间数量，允许区间重叠，这样所有的情况下最多只要两个区间就可以了：

  只要求出k就好了，k=(int)((log(y-x+1.0)/log(2.0)))。

代码：

int input[maxn];
int dp1[maxn][100],dp2[maxn][100];
/*创建*/
void build(int n)
{
    for(int i=1; i<=n; i++) dp1[i][0]=dp2[i][0]=input[i];
    int bitn=(int)(log(1.0*n)/log(2.0));
    for(int j=1; j<=bitn; j++)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            if(i+(1<<(j-1))-1>n) break;
            dp1[i][j]=max(dp1[i][j-1],dp1[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            dp2[i][j]=min(dp2[i][j-1],dp2[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}

/*查询*/
int query(int l,int r)
{
    int k=(int)(log(r-l+1.0)/log(2.0));
    //return max(dp1[l][k],dp1[r-(1<<k)+1][k]);
    //return min(dp2[l][k],dp2[r-(1<<k)+1][k]);
    return max(dp1[l][k],dp1[r-(1<<k)+1][k])-min(dp2[l][k],dp2[r-(1<<k)+1][k]);
}

【更新】

基于稀疏表的RMQ在预处理时的时间和空间复杂度都达到了O（nlogn），并且无法高效的対值进行更新。