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  • 基于稀疏表(Sparse Table)的RMQ(区间最值问题)

    在RMQ的其他实现方法中,有一种叫做ST的算法比较常见。

    【构建】

    dp[i][j]表示的是从i起连续的2j个数xi,xi+1,xi+2,...xi+2j-1( 区间为[i,i+2j-1] )的最值。

    状态转移方程dp[i][j]=max/min(dp[i][j-1], dp[i+2j-1][j-1])

    【查询】

    对于一个查询区间[x,y],只要找到一个或者多个2的整数倍长度的刚好区间覆盖[x,y] ,取这些区间最值的最值就是答案了。

         如何把[x,y]覆盖完整?

    一种办法是把区间的长度按照二进制分成多个2的整数倍区间,显然这些区间是不重叠的,这样求多次最值就能得到答案。不过这种发放增加了算法常数,一次查询可能就要求几十次最值。

    还有种更好的方法,原理是:为了减少分割出的区间数量,允许区间重叠,这样所有的情况下最多只要两个区间就可以了:

      只要求出k就好了,k=(int)((log(y-x+1.0)/log(2.0)))。

    代码:

    int input[maxn];
    int dp1[maxn][100],dp2[maxn][100];
    /*创建*/
    void build(int n)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++) dp1[i][0]=dp2[i][0]=input[i];
        int bitn=(int)(log(1.0*n)/log(2.0));
        for(int j=1; j<=bitn; j++)
        {
            for(int i=1; i<=n; i++)
            {
                if(i+(1<<(j-1))-1>n) break;
                dp1[i][j]=max(dp1[i][j-1],dp1[i+(1<<(j-1))][j-1]);
                dp2[i][j]=min(dp2[i][j-1],dp2[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            }
        }
    }
    
    /*查询*/
    int query(int l,int r)
    {
        int k=(int)(log(r-l+1.0)/log(2.0));
        //return max(dp1[l][k],dp1[r-(1<<k)+1][k]);
        //return min(dp2[l][k],dp2[r-(1<<k)+1][k]);
        return max(dp1[l][k],dp1[r-(1<<k)+1][k])-min(dp2[l][k],dp2[r-(1<<k)+1][k]);
    }

    【更新】

    基于稀疏表的RMQ在预处理时的时间和空间复杂度都达到了O(nlogn),并且无法高效的対值进行更新。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/GeekZRF/p/7131803.html
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