题解-Reachable Strings

题解-Reachable Strings

前置知识：

( exttt{Hash})

---

Reachable Strings

给一个长度为 (n) 的 ( exttt{01}) 串 (s)，可以让 (s) 中的 ( exttt{110}) 和 ( exttt{011}) 互相转换。(q) 次询问，每次给定两个 (s) 的子串 (s_{l_1sim l_1+len-1}) 和 (s_{l_2sim l_2+len-1})，问两个串是否可以互相变换得到。

数据范围：(1le n,qle 10^5)。

---

哈希萌新觉得这是哈希好题。

---

很容易注意到 ( exttt{11}color{#9c3}{ exttt{0}}leftrightarrowcolor{#9c3}{ exttt{0}} exttt{11}) 就是 ( exttt{0}) 左右移动两个位置。

但是不可以 ( exttt{10}color{#9c3}{ exttt{0}}leftrightarrowcolor{#9c3}{ exttt{0}} exttt{01}) 或 ( exttt{01}color{#9c3}{ exttt{0}}leftrightarrowcolor{#9c3}{ exttt{0}} exttt{10})，说明 ( exttt{0}) 移动时不能跨越别的 ( exttt{0})。

综上，所有 ( exttt{0}) 的位置（从左往右第几个 ( exttt{0})） 不会发生改变，并且下标的奇偶性不会变。

所以可以把所有 ( exttt{0}) 按序记录下标奇偶性生成序列，然后判断 两个子序列 是否可以互相变换得到 可以用序列哈希对比 看是否相等。

重点是因为每个子序列的起点奇偶性不都相同，所以每个 (0) 有两种奇偶性可能，所以用两个哈希数组。

---

具体实现哈希时可以用一个质数进制数来表示一个序列。

如果从高到低第 (i) 位为 (1)，就表示原字符串从左到右第 (i) 个 ( exttt{0}) 的下标为奇数；如果为 (2)，就表示原字符串从左到右第 (i) 个 ( exttt{0}) 的下标为偶数。

然后开前缀 ( exttt{0}) 序列数组 (h)，(h_n) 表示原字符串前 (n) 个 ( exttt{0}) 哈希得的质数进制数。

因为子序列的起点奇偶性不同，所以有两个 (h)，分别表示以起点为奇数和偶数为标准时哈希得的前缀 ( exttt{0}) 序列数组。

子串可以由前缀 ( exttt{0}) 序列数组推得，看是否可以互相变换得到只需直接比较子串。

但是有个问题：(0) 那么多，形成的质数进制数太大怎么办（远爆 ( exttt{long long})）？

解决方法是模某个大质数（如 (998244353)）。虽然这样可能会把两个不同的序列哈希得一样，但这正是哈希的精髓。没有绝对正确的哈希，能解决问题的就是好哈希。

---

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define inf 0x3f3f3f3f
#define re register
#define il inline
#define hash unorded_map
typedef long long lng;
typedef unsigned long long ulng;
typedef vector<int> veci;
#define fo(i,st,xb,y) for(re int i=st;i xb;i y)

//&Data
#define N 200000
#define mod 998244353 //模数为998244353
#define base 5119 //5119进制
char s[N+10];
int n,m,h[N+10][2],bs[N+10]={1},ze[N+10];
//两个h，进制前缀积，零数量前缀和

//&Main
il int Hash(re int l,re int r,re int o){return (-1ll*h[l-1][o]*bs[ze[r]-ze[l-1]]%mod+h[r][o]+mod)%mod;} //子序列哈希值
int main(){
	scanf("%d%s",&n,s+1);  
	fo(i,1,<=n,++)
		if(s[i]=='1') h[i][0]=h[i-1][0],h[i][1]=h[i-1][1],ze[i]=ze[i-1];
		else h[i][0]=(1ll*h[i-1][0]*base%mod+1+(i&1))%mod,
			h[i][1]=(1ll*h[i-1][1]*base%mod+1+((i&1)^1))%mod,ze[i]=ze[i-1]+1;
	fo(i,1,<=n,++) bs[i]=1ll*bs[i-1]*base%mod;
	scanf("%d",&m); fo(i,1,<=m,++){
		re int l1,l2,len; scanf("%d%d%d",&l1,&l2,&len);
		(Hash(l1,l1+len-1,l1&1)==Hash(l2,l2+len-1,l2&1)?puts("Yes"):puts("No"));
	}
	return 0;
}

---

祝大家学习愉快！