题解-[HNOI2016]序列
给定 (n) 和 (m) 以及序列 (a{n})。有 (m) 次询问，每次给定区间 ([l,r]in[1,n])，求
[sum_{lle l'le r'le r}min_{i=l'}^{r'}a_i ]
数据范围：(1le n,mle 10^5)，(|a_i|le 10^9)。
蒟蒻要练习省选题，结果就遇到这道数据结构（好久没写数据结构题都忘光了）。结果正好遇到一道毒瘤题，于是蒟蒻来写篇题解。
这题是静态离线，令人想到 ( exttt{ST}) 表和莫队——真的就是他们。
将区间存下来排序，将左端点范围从小到大分 (sqrt n) 份，左端点按份排序，右端点奇偶波浪排序。
friend int operator<(Moq x,Moq y){
if(cas[x.l]!=cas[y.l]) return x.l<y.l;
return (cas[x.l]&1)?x.r<y.r:x.r>y.r;
}
然后依次考虑排序后每一个区间询问，并通过上一个区间的答案递推，这就是莫队的思想。
然后看这题：
如何通过上一个答案递推呢？需要先知道边界端点的贡献。
即给定区间 ([l,r])，(l) 端点的贡献(=Ans[l,r]-Ans[l+1,r])。
比如下面给出一个序列 (a{n}(n=10))：
4 4 5 3 6 2 1 5 6 9
给定区间 ([l,r]=[3,9])，即 (a_lsim a_r) 为：
5 3 6 2 1 5 6
所以左端点 ((l=3,a_l=5)) 的贡献应该为
即
令人想起单调栈，然而不可能每次询问 (Theta(n)) 跑一遍。所以可以预处理：
通过维护单调栈，求出对于每个 (a_i)，(lw_i(lw_i<i)) 表示 (i) 左边第一个比 (a_i) 小的元素的下标；(rw_i(rw_i>i)) 表示 (i) 右边第一个比 (a_i) 小的元素的下标（如果左边不存在比 (a_i) 小的元素，(lw_i=0)；如果右边不存在比 (a_i) 小的元素，(rw_i=n+1)）。
这样的话，就可以维护一个前缀和 (lsm_i) 后缀和 (rsm_i)，其中
然后上面的 (5+3+3+2) 就可以通过后缀和相减得，求右端点贡献时则用前缀和相减。
因为对于区间 ([lw_i+1,i]) 或 ([i,rw_i-1])，(a_i) 为其最小元素。
void Side(){
lw.rz(n+7),rw.rz(n+7);
a[0]=-inf;
q.clear(),q.pb(0);
for(int i=1;i<=n;i++){
while(q.size()&&a[q.back()]>=a[i]) q.pop_back();
lw[i]=q.back(),q.pb(i);
}
a[0]=0;
a[n+1]=-inf;
q.clear(),q.pb(n+1);
for(int i=n;i>=1;i--){
while(q.size()&&a[q.back()]>=a[i]) q.pop_back();
rw[i]=q.back(),q.pb(i);
}
a[n+1]=0;
lsm.rz(n+7),rsm.rz(n+7);
for(int i=1;i<=n;i++) lsm[i]=lsm[lw[i]]+(lng)(i-lw[i])*a[i];
for(int i=n;i>=1;i--) rsm[i]=rsm[rw[i]]+(lng)(rw[i]-i)*a[i];
}
最后一个问题：(1+1+1) 部分怎么办？
因为右端点是随机的，所以如果直接把左端点的贡献当做 (rsm_l-rsm_r)，必然不妥。
考虑到假设区间 ([l,r]) 中 (a_p) 最小，那么必然
所以算 (1+1+1) 部分可以通过维护静态区间最小值下标（( exttt{ST}) 表）找到 (p)，算出 (a_p(r-p+1))。
然后正因为 (a_p) 是 ([l,r]) 区间中最小的元素，所以 ([l,p-1]) 段的左端点贡献也自然是 (rsm_l-rsm_p)。
所以对于区间 ([l,r])，左端点贡献为
右端点同理。
然后相邻两个区间之间就可以逐步转移了。
lng Mol(int l,int r){
int p=getmin(l,r);
return rsm[l]-rsm[p]+(lng)(r-p+1)*a[p];
}
lng Mor(int l,int r){
int p=getmin(l,r);
return lsm[r]-lsm[p]+(lng)(p-l+1)*a[p];
}
void runMo(){
int L=1,R=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
while(L>qu[i].l) res+=Mol(--L,R);
while(R<qu[i].r) res+=Mor(L,++R);
while(L<qu[i].l) res-=Mol(L++,R);
while(R>qu[i].r) res-=Mor(L,R--);
ans[qu[i].I]=res;
}
}
时间复杂度 (Theta(msqrt n))，空间复杂度 (Theta(n+m))。
Code
我这个蒟蒻垃圾真是傻傻讲不清楚，还是放代码吧（要开 ( exttt{long long})）。
代码有点长，于是蒟蒻划分了一下。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//Start
#define lng long long
#define db double
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define rz resize
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
//Data
int n,m;
vector<int> a;
//Side
vector<int> lw,rw,q;
vector<lng> lsm,rsm;
void Side(){
lw.rz(n+7),rw.rz(n+7);
a[0]=-inf;
q.clear(),q.pb(0);
for(int i=1;i<=n;i++){
while(q.size()&&a[q.back()]>=a[i]) q.pop_back();
lw[i]=q.back(),q.pb(i);
}
a[0]=0;
a[n+1]=-inf;
q.clear(),q.pb(n+1);
for(int i=n;i>=1;i--){
while(q.size()&&a[q.back()]>=a[i]) q.pop_back();
rw[i]=q.back(),q.pb(i);
}
a[n+1]=0;
lsm.rz(n+7),rsm.rz(n+7);
for(int i=1;i<=n;i++) lsm[i]=lsm[lw[i]]+(lng)(i-lw[i])*a[i];
for(int i=n;i>=1;i--) rsm[i]=rsm[rw[i]]+(lng)(rw[i]-i)*a[i];//中间递推也要注意爆int
}
//ST
vector<int> lg;
vector<vector<int> > st;
int stcmp(int x,int y){
return a[x]<a[y]?x:y;
}
void buildst(){
lg.rz(n+7);
for(int i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i-1]+((1<<(lg[i-1]+1))<=i?1:0); //lg[i]=(int)log(i)
st.rz(lg[n]+7);
for(int j=0;j<=lg[n];j++) st[j].rz(n+7);
for(int i=1;i<=n;i++) st[0][i]=i;
for(int j=1;j<=lg[n];j++)
for(int i=1;i<=n-(1<<(j-1));i++) st[j][i]=stcmp(st[j-1][i],st[j-1][i+(1<<(j-1))]);
}
int getmin(int l,int r){
int len=lg[r-l+1];
return stcmp(st[len][l],st[len][r-(1<<len)+1]);
}
//Moq
int sq;
lng res;
vector<int> cas;
vector<lng> ans;
struct Moq{
int l,r,I;
friend int operator<(Moq x,Moq y){
if(cas[x.l]!=cas[y.l]) return x.l<y.l;
return (cas[x.l]&1)?x.r<y.r:x.r>y.r;
}
};
vector<Moq> qu;
void buildMo(){
cas.rz(n+7),qu.rz(m+1);
sq=sqrt(n);
for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&qu[i].l,&qu[i].r),qu[i].I=i;
for(int i=1;i<=n;i++) cas[i]=(i-1)/sq+1;
sort(qu.begin(),qu.end());
}
lng Mol(int l,int r){
int p=getmin(l,r);
return rsm[l]-rsm[p]+(lng)(r-p+1)*a[p];
}
lng Mor(int l,int r){
int p=getmin(l,r);
return lsm[r]-lsm[p]+(lng)(p-l+1)*a[p];
}
void runMo(){
int L=1,R=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
while(L>qu[i].l) res+=Mol(--L,R);
while(R<qu[i].r) res+=Mor(L,++R);
while(L<qu[i].l) res-=Mol(L++,R);
while(R>qu[i].r) res-=Mor(L,R--);
ans[qu[i].I]=res;
}
}
//Main
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
a.rz(n+7);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
ans.rz(m+7);
Side(),buildst(),buildMo(),runMo();
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%lld
",ans[i]);
return 0;
}
祝大家学习愉快！