题解-CF1065E Side Transmutations

CF1065E Side Transmutations

(n) 和 (m) 和 (k) 和序列 (b_i(1le ile m,1le b_ile b_{i+1}le frac n2))。对于字符串 (s)，如果选其 (b_i) 前缀和 (b_i) 后缀翻转并交换能变成字符串 (s')，则 (s,s') 是相等的。求有多少个长度为 (n) 的字符串，字符集大小为 (k)，互不相等。答案 (mod 998244353)。

数据范围：(2le nle 10^9)，(1le mle min(frac n2,2cdot 10^5))，(1le kle 10^9)。

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听神仙说这是群论，是 ( t Polya)，小蒟蒻没有听说过，但是手推出来这题了。

既然蒟蒻啥都不会，那么就慢慢做这题。

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把字符串分成 (2m+1) 段。

如 (m=2) 字符串就是 (overrightarrow{A}overrightarrow{B}overrightarrow{C}overrightarrow{D}overrightarrow{E})：

(overrightarrow{S}) 指的是一个有顺序的字符串。

(overrightarrow{A}) 表示 (s_{1 o b_1})。

(overrightarrow{B}) 表示 (s_{b_1+1 o b_2})。

(overrightarrow{C}) 表示 (s_{b_2+1 o n-b_2})。

(overrightarrow{D}) 表示 (s_{n-b_2+1 o n-b_1})。

(overrightarrow{E}) 表示 (s_{n-b_1+1 o n})。

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• 解决 (m=1) 的情况：

[overrightarrow{A}overrightarrow{B}overrightarrow{C}=overleftarrow{C}overrightarrow{B}overleftarrow{A} ]

如果 (overrightarrow{A}=overleftarrow{C})：(k^{n-b_1}) 种。

如果 (overrightarrow{A} ot=overleftarrow{C})：((k^n-k^{n-b_1})cdot 2^{-1}) 种。

答案为 (k^{n-b_1}+(k^n-k^{n-b_1})cdot 2^{-1}=(k^n+k^{n-b_1})cdot 2^{-1}) 种。

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• 解决 (m=2) 的情况：

[overrightarrow{A}overrightarrow{B}overrightarrow{C}overrightarrow{D}overrightarrow{E}=overleftarrow{E}overrightarrow{B}overrightarrow{C}overrightarrow{D}overleftarrow{A}=overrightarrow{A}overleftarrow{D}overrightarrow{C}overleftarrow{B}overrightarrow{E}=overleftarrow{E}overleftarrow{D}overrightarrow{C}overleftarrow{B}overleftarrow{A} ]

如果 (overrightarrow{A}=overleftarrow{E}&overrightarrow{B}=overleftarrow{D})：(k^{n-b_2}) 种。

如果 (overrightarrow{A} ot=overleftarrow{E}&overrightarrow{B}=overleftarrow{D})：((k^{n-b_2+b_1}-k^{n-b_2})cdot 2^{-1}) 种。

如果 (overrightarrow{A}=overleftarrow{E}&overrightarrow{B} ot=overleftarrow{D})：((k^{n-b_1}-k^{n-b_2})cdot 2^{-1}) 种。

如果 (overrightarrow{A} ot=overleftarrow{E}&overrightarrow{B} ot=overleftarrow{D})：((k^n-k^{n-b_1}-k^{n-b_2+b_1}+k^{n-b_2})cdot 2^{-2}) 种。

答案为 ((k^n+k^{n-b_1}+k^{n-b_2+b_1}+k^{n-b_2})cdot 2^{-2}) 种。

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小蒟蒻于是就发现规律了：

令集合 (st={b_1,b_2-b_1,...,b_m-b_{m-1}})。

[Ans=2^{-m}sum_{subin st}k^{n-sum_{xin sub}x} ]

看似诡异，但是其实这个一把这个式子裂开就发现是可以合并的：

[egin{split} 2^m Ans=&~~~~~k^{n-st_1-st_2-cdots-st_m}\ &+k^{n-st_2-st_3-cdots-st_m}+k^{n-st_1-st_3-cdots-st_m}\ &~~~~~~~~~~~~~~+k^{n-st_1-st_2-st_4-cdots-st_m}+cdots+k^{n-st_1-st_2-cdots-st_{m-1}}\ &+vdots\ &+k^n\ =&k^{n-st_1-st_2-cdots-st_m}(k^{st_1}+1)(k^{st_2}+1)cdots(k^{st_m}+1)\ =&k^{n-b_m}(k^{st_1}+1)(k^{st_2}+1)cdots(k^{st_m}+1)\ end{split} ]

[ herefore Ans=2^{-m}k^{n-b_m}(k^{st_1}+1)(k^{st_2}+1)cdots(k^{st_m}+1) ]

然后就做完了。因为还要 (mod 998244353)，所以时间复杂度为 (Theta(mlog mod))。

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• 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define b(a) a.begin()
#define e(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=2e5;
const int mod=998244353;
int n,m,k,b[N+7];

//Pow
int Pow(int a,int x){
	if(!a) return 0; int res=1;
	for(;x;a=(ll)a*a%mod,x>>=1)if(x&1) res=(ll)res*a%mod;
	return res;
}

//Main
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k),k%=mod; //这句不加 Wrong on test 11
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]);
	int res=1;
	for(int i=1;i<=m;i++) res=(ll)res*(Pow(k,b[i]-b[i-1])+1)%mod;
	res=(ll)res*Pow(k,n-b[m])%mod;
	res=(ll)res*Pow(Pow(2,m),mod-2)%mod;
	printf("%d
",res);
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！