题解-CF232C Doe Graphs

题面

CF232C Doe Graphs

(0) 级 Doe 图是一个点，(1) 级 Doe 图是两个点加一条边，(k) 级 Doe 图是一个 (k-1) 级 Doe 图加上一个编号全加了 (k-1) 级 Doe 图大小的 (k-2) 级 Doe 图。给一个 (n) 级 Doe 图，(m) 次询问，每次查询 (a) 和 (b) 两点间的最短路。

数据范围：(1le nle 10^3)，(1le mle 10^5)，(1le a,ble 10^{16})。

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题解

肝了一个下午最终贺题了。既然狗做不动题，就多写点题解吧。

注意到 (a,b) 比 (fib_n) 小很多，发现 (n)（(fib_{79}) 就 (>10^{16})） 可以和 (80) 取最小值。

考虑一个 (k) 级图，把 (k-1) 级部分叫做 (A)，把 (k-2) 级部分叫做 (B)。

有四个点：(S=1)，(T_A=fib_{k-1})，(S_B=T_A+1)，(T=fib_{k})。

有两条边在这里：((S,S_B))，((T_A,S_B))。

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容易想到计算出每个点到 (S) 的距离和到 (T) 的距离，然后任意两点间的询问，貌似可以通过这两个距离搞出来。

这样便缩小了查询的一维。但是还是不能直接求。

由于 (a,b) 是固定的，所以它们在每级图中的地位也是固定的，所以可以考虑只算对于一个查询的点 (u)，计算它在每层图中和 (S,T) 的距离，这东西是可以递推的。

如果设 (f(k,0/1)) 表示 (k) 级图下 (u) 到 (S/T) 的距离，便可以非常睿智地玩出一个递推方程，但它是错的。

玩的时候，会发现一个 (k) 级图外的边也是对内部的距离有影响的。

最好的例子就是对于 (S) 和 (T_A)，它们都连向 (S_B)，而它们的内部距离可能 (>2)。

然后狗就是很 naive 以为只要对这种情况特殊处理掉就 OK 了，没想到有以下情况：

有以下边：((S,T))，((T_A,S_B))，((S,S_B))，然后查询 (S_B) 到 (T) 的距离。

这种时其实是有个性质的：所有的外部边的影响可以改为在 (S,T) 之间加一条带权边。

可以把 dp 转成搜索，(dp(u,k,d)) 表示 (k) 级图，(S,T) 上有一条长度 (k) 的边，返回值是个 pair，即 (u) 到 (S,T) 的距离。

然后就很好递推了。

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再考虑接下来如何求 (a,b) 之间的距离，不妨设 (a<b)。

发现也不能直接把 (n) 替换成最小的 (k) 使得 (ble fib_k)，原理同上：有外部影响。

但是推推可以发现：虽然整个图对答案有影响，但因为如果对于最小 (k) 满足 (ble fib_{k-1})，(a,b) 必然都在它大的部分子图内，所以这里的 (d) 肯定是 (2)，所以 (n) 和 (80) 取 min 依然是可以的 /cy。

所以同样可以搜索，设 (solve(u,v,k,d)) 表示 (k) 级图，(S,T) 上有一条长度 (k) 的边，返回它们间的距离。

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至于 (d) 怎么递推，dp 怎么递推（包括上面）留给读者自行思考了。

时间复杂度 (Theta(80m))。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define x first
#define y second
#define bg begin()
#define ed end()
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define sz(u) int((u).size())
#define R(i,n) for(int i(0);i<(n);++i)
#define L(i,n) for(int i((n)-1);i>=0;--i)
const int iinf=0x3f3f3f3f;
const ll linf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=80;
int n;

//Math
ll fib[N];
void math_init(){
    fib[0]=fib[1]=1;
    for(int i=2;i<N;++i)    
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
}

//Function
#define mi fib[k-1]
pair<int,int> dp(ll u,int k,int d=iinf){
    if(k<=1) return mp(0,0);
    if(u<mi){
        auto p=dp(u,k-1,2);
        return mp(p.x,min(min(p.x,p.y)+1+(k-2)/2,p.x+d));
    } else {
        auto p=dp(u-mi,k-2,d+1);
        return mp(min(p.x+1,p.y+d),p.y);
    }
}
int solve(ll u,ll v,int k,int d=iinf){
    if(u==0&&v==fib[k]-1) return min(d,k/2);
    if(v<mi) return solve(u,v,k-1,2);
    if(u>=mi) return solve(u-mi,v-mi,k-2,d+1);
    auto ud=dp(u,k-1,2),vd=dp(v-mi,k-2,d+1);
    return min(min(ud.x,ud.y)+1+vd.x,ud.x+d+vd.y);
}

//Main
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    math_init();
    int m; cin>>m>>n,n=min(n+1,N-1);
    while(m--){
        ll u,v; cin>>u>>v,--u,--v;
        if(u>v) swap(u,v);
        cout<<solve(u,v,n)<<'
';
    }
    return 0;
}

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祝大家学习愉快！