题解-CF1453F Even Harder

题面

CF1453F Even Harder

有一行 (n) 个鸽子，每个鸽子有个跳跃能力 (a_i)，表示站在这个鸽子上的人可以跳到每个满足 (i+1le j< i+a_i) 的第 (j) 个鸽子。现在有个人在第 (1) 只鸽子身上，他的目标是跳到第 (n) 子鸽子身上。请问您最少杀死几只鸽子（使 (a_i) 变成 (0)），使得这个人到最后一个鸽子有正好 (1) 种方案。

数据范围：(2le nle 3000)，(0le a_ile n-i)。

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题解

什么时候 Codeforces 有这么 AtCoder 的题了 /yiw。

为了方便，令 (a_i=a_i+1)（题面中条件是已经加过了的）。

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有一种基于暴力的 naive 做法，可是是错的：

设 (f_{i,k}) 表示到第 (i) 个鸽子，有 (k) 种方案的最小宰鸽数（如果有 (>2) 种方案当作 (2)）。

可是数据 1 5 3 1 2 1 0 把我宰了，因为这种做法会重复统计宰鸽。

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考虑分析这个唯一的被人踩了的鸽子的序列 (p_1,p_2,dots ,p_m)，会发现以下性质：

1. 对于每个 (p_i)，这只鸽子肯定没有被宰掉，且 (p_i+a_{pi}>p_{i+1})。

2. 每个 (p_i) 必须满足 (p_i+a_{pi}le p_{i+2})。否则如下图最下面的红边，就会多产生一种方案。

3. 每个 (p_i<j<p_{i+1}) 必须满足 (j+a_jle p_{i+1})。否则 (p_i) 先走橙色边，再走短的红边，就会多产生一种方案。

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所以可以尝试维护 (f[u][v]) 表示最后两个 (p_i) 是 (u,v) 的方案数，然后就有了一个 (Theta(n^3)) 的做法。

然后可以发现，如果给 (u)（从左往右第 (2) 个黄鸽）向右延伸的边（绿边）一个右滑的机会，那么转移可以变成 (Theta(n^2))。

即设 (f[v][j]) 表示当前最后一个 (p_i=v)，然后 (p_{i-1}) 可以跳到 (j) 之前的最小宰鸽数。

(v) 即是图中间的黄鸽子，(j) 即所有绿鸽子。转移的下一个 (v') 即最右端的肉鸽子。

转移过程就是枚举 (v') 和 (v)，然后从 (f[v][v']) 转移到 (f[v'][v+a_v])，代价是把 (v) 和 (v') 之间可以跳到 (v') 右边的鸽子全部宰掉。

然后把第二维前缀最小值一下，表示一个滑的过程。

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代码

//George1123
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long i64;
typedef unsigned int u32;
typedef unsigned long long u64;
typedef vector<int> vi;
typedef pair<int,int> pii;

#define x first
#define y second
#define sz(a) (int)((a).size())
#define all(a) (a).begin(),(a).end()
#define R(i,n) for(int i=0;i<(n);++i)
#define L(i,n) for(int i=(n)-1;i>=0;--i)

constexpr int inf32=0x3f3f3f3f;
constexpr i64 inf64=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);

    int t;
    for(cin>>t;t--;){
        int n;
        cin>>n;
        vi a(n);
        R(i,n) cin>>a[i],++a[i];
        vector<vi> f(n,vi(n+1,inf32));
        R(i,n)if(i) f[0][i]=0; 
        R(i,n)if(i){
            int c=0;
            L(j,i){
                if(j+a[j]<=i) continue;
                f[i][j+a[j]]=min(f[i][j+a[j]],f[j][i]+(c++));
            }
            for(int j=i+1;j<n;++j)
                f[i][j+1]=min(f[i][j+1],f[i][j]);
        }
        cout<<f[n-1][n]<<'
';
    }
    
    return 0;
}

/*
1
5
3 1 2 1 0 
*/

/* stuff you should look for
    * int overflow, array bounds
    * special cases (n=1?)
    * do smth instead of nothing and stay organized
    * WRITE STUFF DOWN
    * DON'T GET STUCK ON ONE APPROACH
*/

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祝大家能踩着我这只被杀死的鸽子，越飞越远！