UVA题解一

UVA 100

题目描述：经典3n+1问题在(n leq 10^6)已经证明是可行的，现在记(f[n])为从(n)开始需要多少步才能到(1)，给出(L, R)，问(f[L], f[L+1], f[L+2], ... , f[R])中的最大值。

solution
这题主要是坑。。。
1、(L)有可能大于(R) 2、数据范围应该是(10^6)
言归正传。通过打表发现，(10^6)以内的(f[n])最大也只是几百，普遍都很小，所以不用记忆化也可以把(f[n])全部算出来，然后可以用rmq维护区间最大值，那么询问的代价可以缩为(O(1))
PS:最终发现直接每次询问都做一遍也是可以过的。。。唉。。。

UVA 101

题目描述：有编号从(0)到(n-1)的(n)个箱子按顺序排成一行，现有(5)种操作：
1、move a onto b,将放在编号(a)或(b)上面的箱子放回原处，然后把(a)放在(b)的上面
2、move a over b,将放在编号(a)上面的箱子放回原处，然后把(a)放在(b)那堆箱子的最上面
3、pile a onto b,将放在编号(b)上面的箱子放回原处，然后把(a)以及(a)上面的箱子按原顺序放在(b)的上面
4、pile a over b,把(a)以及(a)上面的箱子按原顺序放在(b)那堆箱子的最上面
5、quit,结束操作
NOTE：如果(a=b)，那么操作无效，即跳过该操作，不做任何处理

solution
英语不太好，没理解好题意，理解后就是一道栈模拟。

UVA 102

题目描述：有三个箱子，每个箱子都装着不同种类的垃圾，垃圾有三种：brown, green, clear bottles,现在要将垃圾分类，每个箱子只装一种垃圾，将一个垃圾移动一次记为一次操作，问最少要多少次操作才能将垃圾分类，并输出箱子对应的垃圾种类，若有多解则输出字典序最小的解。

solution
暴力穷举箱子对应的垃圾种类，不属于该箱子的就要移动一次

UVA 103

题目描述：有(n)个(m)维箱子，若第(i)个箱子每一维的边长为(d_k), 第(j)个箱子每一维的边长为(e_k)，且存在一个(d_k)的排列，使得(d_k<e_k)，那么箱子(i)可以放在箱子(j)的里面，问最多可以有多少层箱子嵌套。

solution
根据题意构图，然后跑一次最长路径

UVA 104

题目描述：有(n)种货币，货币两两之间有汇率(rate)，但(i)对(j)的汇率与(j)对(i)的汇率不一定相同。从某一种货币出发，经过不超过(n)次的兑换，最终回到那种货币可能会能获利超过(1%)，求出最少兑换次数对应的方案。

solution
因为题目问的是最少兑换次数，所以可以考虑一步一步地扩展。记(f[i][j][k])表示经过(i)次兑换后，从(j)货币出发最多能得到多少(k)货币，dp时枚举(p)，用(f[i][j][k]*rate[k][p])更新(f[i+1][j][p])，当发现某一种货币对自己的汇率超过(1.01)时，就可以输出对应方案。

UVA 105

题目描述：给出(n)座大楼的坐标范围以及高度，求出每个坐标对应的最高高度。

solution
模拟题

UVA 106

题目描述：求出满足(x<y<z leq n, x^2 + y^2 =z^2, (x, y, z)=1)的三元数对个数，并求出(n)以内不属于任何一个该种三元数对（去掉最后一个条件）的数字个数

solution
看到(n)比较大，还以为要(nlogn)预处理所有的答案，结果并不需要。。。
先不管(x, y)的大小。首先判断(x, y)的奇偶性。因为((x, y, z)=1)，所以(x, y)一定是一奇一偶或者是两奇。
假设为两奇，则(z)为偶数，设(x=2p-1, y=2q-1, z=2w),

[x^2+y^2=z^2 ]

[(2p-1)^2+(2q-1)^2=(2w)^2 ]

[4(p^2+q^2-p-q)+2=4w^2 ]

显然左式不是(4)的倍数，所以(x, y)为一奇一偶，(z)为奇数。

假设(x)为奇数，(y)为偶数

[x^2=(z+y)(z-y) ]

若((z+y, z-y)=1), 则((y, z)=1)
证：

[ecause (z+y, z-y)=1 ]

[ herefore (2y, z+y)=1, (y, z+y)=1, (y, z)=1 ]

因为((z+y, z-y)=1)，所以((z+y), (z-y))都是完全平方数，假设((z+y))不是完全平方数,即存在一个质因子只有奇数个，但((z+y)(z-y))是一个完全平方数，所以((z-y))也会有那个质因子，((z+y, z-y)=1)不成立。

设(p^2=z+y, q^2=z-y), 则(x=pq, y=frac{p^2-q^2}{2}, z=frac{p^2+q^2}{2})
显然((x, y, z)=1, x, y < z)
所以做法就是枚举(p, q, (p, q)=1)，然后把(kx, ky, kz, (k in N^{*}))打上标记，最后数一下有多少个数没有被标记（第二个询问的答案）

UVA 107

题目描述：已知(N^k=M, (N+1)^k=H), 给出(M, H)，求出(sum_{i=0}^{k-1} N^i)和(sum_{i=0}^{k} N^{i}(N+1)^{k-i})

solution
(k=frac{logM}{logN}=frac{LogH}{log(N+1)})，用这个条件把(N)逼近，然后就可以求(k)，然后模拟计算

UVA 108

题目描述：求最大子矩阵和。

solution
时限开了(3s)，可以直接暴力做，也可以用(O(n^3))来做

UVA 109

题目描述：给出(n)个凸包和(m)个点，求出包含至少一个点的凸包的面积和。

solution
用等面积法判断点是否在凸包内，剩下的就是计算几何的知识。