Petrozavodsk Summer Training Camp 2017 Day 9

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Problem A. Building

题目描述：给出一棵树，在树上取出一条简单路径，使得该路径的最长上升子序列最长，问最长的长度。

solution
最常见的想法就是树状dp，但空间不太够，所以选择直接计数。

每个点记住两个(vector(f, g))，(f_i)表示从叶子到(i)的最长的递增序列，(g_i)表示从叶子到(i)的最长的递减序列。

当算以(i)为根的子树的答案时，假设做到儿子(j)，算(f[i])与(g[j])组成的最长递增序列，以及(f[j])与(g[i])的最长递增序列。算的时候一个序列枚举每个数，然后在另一个序列二分出位置，即可更新答案，而枚举的序列要选短的那个，这样时间复杂度就能保证为(log^2n)，还要注意答案序列经过(i)的情况。

然后就是将(f[i]、f[j])，(g[i]、g[j])合并。拿(f[i]、f[j])合并为例子，合并的时候直接取对应位置的最小值即可，即：

2 3 4 6 7
1 2 5 8

合并为1 2 4 6 7.
对于(f)序列，数越小越好，因为对于相同的位置(k)，它在答案序列的位置就是(k)，这是固定的，而数越小，就可以在(g)找到更多的数来拼成序列，得到更大的答案。
同样的道理，对于(g)中的数找(f)对应的位置，对于相同的数，(f)的数越小，二分出的位置不会更差，反而有可能更优。
因此对于(g)序列，数越大越好。

时间复杂度：(O(nlog^2n))

Problem B. Fish

题目描述：有(n)条鱼，每条鱼的长度为(L_i)，颜色是(c_i)，颜色只有三种('R', 'G', 'B')。现要取出一个非空子集，使得任意一条鱼的长度小于任意一条鱼的长度的两倍，假设选出的子集的每种颜色数目为三元对((x, y, z))，问三元对的数目。

solution
将鱼按长度从小到大排序，对于每条鱼(i)，找到最大的(j)，满足(L_j<L_i*2)，部分和求出([i, j])的每种颜色的数目((x_i, y_i, z_i))。问题转化为有(n)个三元对((x_i, y_i, z_i))，求三元对((x, y, z))的数目，满足存在一个(i)，(x leq x_i, y leq y_i, z leq z_i)。

这就跟codeforces上的一道题很像(Karen and Cards)，至少思路很像。

这里我们将三元对从大到小排序，记每个(y)对应的最大的(z)为(maxz[y])。对于每一个(x)，用(x_i==x)的三元对更新(maxz[y])，这里要利用(maxz[y])的一个特点：(maxz[y])是递减。所以可以二分出要更新的区间，然后用线段树维护(maxz[y])。然后对于(x)，答案就是(sum maxz[y])。

时间复杂度：(O(nlogn))

Problem C. JOI Flag

题目描述：定义(level-K)的(JOI Flag)：

1. 一个(level-0)的(JOI Flag)是一个(1 imes 1)的网格图，包含'J', 'O', 'I'其中一个字母。
2. 当(m>0)时，一个(level-m)的(JOI Flag)是一个(2^m imes 2^m)的网格图，能分成四个(2^{m-1} imes 2^{m-1})的网格图：一个是(level-m-1)的(JOI Flag)，一个全是'J', 一个全是'O'，一个全是'I'。
   现在有一个(2^K imes 2^K)的网格图，里面有些格子的字母是确定的，未知的位置可以随便填字母而不需要花费，改变已知的字母则需要花费(1)。问将这个网格图变成一个(level-K)的(JOI Flag)需要的最小花费。

solution
因为已知的字母比较少，所以可以直接暴力搜索。

时间复杂度：(O(4!NK))

Problem E. Rotate

题目描述：给出一个(N imes N)的网格图，每个格子有一个小写字母。现在有(Q)次操作，每次操作选择一个子方阵，将子方阵逆时针旋转(90^{circ})。输出最后的网格图。

solution
一开始的想法是将每一行，每一列压位，然后暴力旋转，时间复杂度是(O(QN^2/13))。但写起来非常恶心。

在网格图外围再围一层，变成((N+2) imes (N+2))的网格图，然后从(0)到(n*n-1)编号((n=N+2))，记录每个编号(i)，左上右下的编号。

当进行一次旋转操作时，只有子方阵的边界的左上右下的编号会改变，子方阵内部的也会改变，但改变的只是编号对应的方向，也就是说还是那四个编号，只是方向发生了改变，而且这个改变是轮换，即方向的相对位置没有发生变化。例如：

只要是沿当前方向向前走，不管是从(0)进来还是(1)进来，都是从(+2)的位置出去，只要是右拐，都是从(-1)的位置出去。所以每次只需要修改子方阵边界的各个方向的编号，内部的不需要修改。

定位子方阵的左上角时，从(0)开始向右走（最外围不会被改变），走到对应列右拐，向前走走到对应行，然后围着子矩阵边界转一圈。注意这里行走时用的描述都是向前，拐弯，不是上下左右，因为只能保证相对位置不变，去哪一个编号也跟从哪里来有关。输出答案时从每一行的边界开始向右（最左边一列不变）前进即可。

时间复杂度：(O(QN))

Problem F. Fortune Telling

题目描述：有一个(M imes N)的网格图，每个格子开始时都是白色，现在有(K)个操作，每次操作将一个子矩阵的颜色翻转，即黑变白，白变黑。问最终有多少个格子是白色。

solution
离散化+扫描线+线段树。

时间复杂度：(O(nlogn))

Problem G. Kangaroo

题目描述：有(n)只袋鼠，每只袋鼠的大小为(A_i)，袋子的大小为(B_i)。每只袋鼠只能装一只袋鼠，但允许那只袋鼠的袋子里也有袋鼠，当(A_j<B_i)时，袋鼠(j)就能装到(i)的袋子里。问最后的状态有多少种（能装就要装）。

solution
转队友的题解

Problem I. Chinese

题目描述：在圆桌上等分地放着(n)盘菜，顺时针或逆时针旋转一个单位需要一个花费。现在给出(2)~(n)每个人要吃的菜，开始时第(i)个人对着第(i)盘菜，第一个人最先吃（对着就能吃），吃完后其他人再吃，其他人吃时不分顺序，输出当第一个人吃第(i)盘菜时，所有人吃完菜的最少花费。

solution
算出从初始开始顺时针转，使得第(i)个人吃上菜的花费(a_i)，因为是环，惯用技巧是将(a)数组复制一遍在后面。
枚举(i)((1)~(2*n-1))表示第一个人吃第(i)盘菜，求出(j)使得(sum_{k=i}^{j} a_k==n-1)，则(j-i)是一种方案，假设(x)为(i-1)时的最优方案，则(x+1)也是一种方案，即花费(1)转回去，然后用(i-1)时的最优方案。
反过来枚举(i)((2*n)~(1))，然后按上述的做法重做一次，表示逆时针转。
这两种方法已经涵盖了所有的最优方案。当第一个人吃第(i)盘菜时，方案有四个：1、顺时针转，2、逆时针转，3、先顺时针转再逆时针转，4、先逆时针转再顺时针转。而上述方法中的花费(1)转回去，就是方案3、4。

时间复杂度：(O(n))